kaoyan3basic 线性代数 第347题
📝 题目
### 第347题 347 （1990，数五）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则 （A）$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$ ． （B）$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|$ ． （C）$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n}$ ． （D）$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：由$AA^*=|A|E$，两边取行列式得$|A||A^*|=|A|^n$。步骤2：因$A$可逆，$|A|\neq0$，故$|A^*|=|A|^{n-1}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用伴随矩阵的性质建立等式
由伴随矩阵的性质，有 $AA^* = |A|E$，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
公式：AA^* = |A|E
提示：记住伴随矩阵的定义和基本性质。
步骤 2/3
目标：对等式两边取行列式
对 $AA^* = |A|E$ 两边取行列式，得 $|A||A^*| = |A|^n$，因为 $| |A|E | = |A|^n$。
公式：|A||A^*| = |A|^n
提示：行列式乘法性质：$|AB| = |A||B|$；数量矩阵的行列式：$|kE| = k^n$。
步骤 3/3
目标：化简得到 $|A^*|$ 的表达式
由于 $A$ 可逆，$|A| \neq 0$，等式两边同除以 $|A|$，得 $|A^*| = |A|^{n-1}$。
公式：|A^*| = |A|^{n-1}
提示：注意 $|A| \neq 0$ 是化简的前提。
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