kaoyan3basic 线性代数 第362题
📝 题目
### 第362题 362 下列矩阵中，初等矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。常见的初等变换包括：交换两行（列）、某行（列）乘以非零常数、某行（列）加上另一行（列）的倍数。 - 选项A：将单位矩阵的第二行乘以2，再交换第二行和第三行，这需要两次初等变换，因此不是初等矩阵。 - 选项B：是两次行交换的结果（先交换第一行和第三行，再交换第二行和第三行），不是一次初等变换。 - 选项C：是对角线上有两个非1的常数，相当于两次倍乘变换，不是一次初等变换。 - 选项D：是由单位矩阵将第一行加上第三行的√2倍得到的，属于一次初等行变换（倍加变换），因此是初等矩阵。
**难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解初等矩阵的定义
初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换或初等列变换得到的矩阵。常见的初等变换包括：交换两行（列）、某行（列）乘以非零常数、某行（列）加上另一行（列）的倍数。
提示：注意：一次变换只能进行一种操作，不能组合。
步骤 2/5
目标：分析选项A
选项A：$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$。该矩阵可以通过将单位矩阵的第二行乘以2，再交换第二行和第三行得到，这需要两次初等变换，因此不是初等矩阵。
提示：检查是否可以通过一次变换得到。
步骤 3/5
目标：分析选项B
选项B：$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$。该矩阵可以通过先交换第一行和第三行，再交换第二行和第三行得到，需要两次行交换，因此不是初等矩阵。
提示：注意：一次交换只能交换两行。
步骤 4/5
目标：分析选项C
选项C：$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$。该矩阵的对角线上有两个非1的常数，相当于对单位矩阵进行了两次倍乘变换（第二行乘以2，第三行乘以-1），因此不是初等矩阵。
提示：一次倍乘只能改变一行（列）的一个非零常数。
步骤 5/5
目标：分析选项D
选项D：$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$。该矩阵可以由单位矩阵将第一行加上第三行的$\sqrt{2}$倍得到，属于一次初等行变换（倍加变换），因此是初等矩阵。
提示：倍加变换：某行加上另一行的倍数，只改变一行。
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