kaoyan3basic 线性代数 第401题
📝 题目
### 第401题 401 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置，若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{t}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则秩 $r(\boldsymbol{A})=$ （A）$t$ ． （B）$n-t$ ． （C）$m-t$ ． （D）$n-m$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：将选项向量与基础解系$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$比较，$(1,-1,3)^\mathrm{T}=2\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2$，是解。 步骤2：其余选项不能表示为$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$的线性组合。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定齐次方程组 A^T x = 0 的基础解系所含向量个数与矩阵秩的关系
已知 η1, η2, ..., ηt 是 A^T x = 0 的基础解系，则基础解系所含向量个数为 t。根据线性方程组理论，基础解系所含向量个数等于未知量个数减去系数矩阵的秩。这里未知量个数为 m（因为 A^T 是 n×m 矩阵，x 是 m 维列向量），系数矩阵 A^T 的秩等于 r(A^T) = r(A)。因此有 t = m - r(A^T) = m - r(A)。
公式：t = m - r(A)
提示：注意 A^T 是 n×m 矩阵，未知量个数为 m，系数矩阵的秩等于原矩阵的秩。
步骤 2/2
目标：解出 r(A) 的表达式
由 t = m - r(A) 移项得 r(A) = m - t。
公式：r(A) = m - t
提示：检查选项，m-t 对应选项 (C)。
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