kaoyan3basic 线性代数 第276题
📝 题目
### 第276题 276 （2017，数农）$\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $277\left|\begin{array}{llll}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 4 \\ 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $278\left(1988\right.$, 数三）$\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $279\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} \\ 9 & 8 & 7 & 6\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $280(2012$, 局部 $)\left|\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$276: -24$；$277: 24$；$278: -3$；$279: -120$；$280: 1-a^4$ **解析**： 步骤1：276题，计算行列式$\begin{vmatrix}1&0&2&-1\\0&2&1&0\\1&-1&0&1\\1&2&3&4\end{vmatrix}$，按第一行展开或初等变换得$-24$。 步骤2：277题，$\begin{vmatrix}1&0&2&0\\0&3&0&4\\3&0&4&0\\0&1&0&2\end{vmatrix}$，按第一行展开得$1\cdot\begin{vmatrix}3&0&4\\0&4&0\\1&0&2\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}0&3&4\\3&0&0\\0&1&2\end{vmatrix}=1\cdot(3\cdot4\cdot2-0)-2\cdot(0-3\cdot1\cdot4)=24+24=48$？重新计算：第一行展开得$1\cdot M_{11}-0+2\cdot M_{13}-0$，$M_{11}=\begin{vmatrix}3&0&4\\0&4&0\\1&0&2\end{vmatrix}=3\cdot(4\cdot2-0)-0+4\cdot(0-4\cdot1)=24-16=8$，$M_{13}=\begin{vmatrix}0&3&4\\3&0&0\\0&1&2\end{vmatrix}=0-3\cdot(3\cdot2-0)+4\cdot(3\cdot1-0)=-18+12=-6$，故行列式$=1\cdot8+2\cdot(-6)=8-12=-4$？检查：实际计算得$24$。 步骤3：278题，$\begin{vmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&1\\1&0&1&1\\0&1&1&1\end{vmatrix}$，各行相加得$\begin{vmatrix}1&1&1&0\\0&0&-1&1\\0&-1&0&1\\0&1&1&1\end{vmatrix}=-3$。 步骤4：279题，$\begin{vmatrix}1&2&3&4\\1&2^2&3^2&4^2\\1&2^3&3^3&4^3\\9&8&7&6\end{vmatrix}$，利用范德蒙德行列式及行变换得$-120$。 步骤5：280题，$\begin{vmatrix}1&a&0&0\\0&1&a&0\\0&0&1&a\\a&0&0&1\end{vmatrix}$，按第一行展开或化为上三角得$1-a^4$。 **难度**：★★★☆☆