kaoyan3basic 高等数学 第104题
📝 题目
### 第104题 104 二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$-\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y$ **解析**： 方程$(x+1)z-y^2=x^2f(x-z,y)$，令$x=0,y=1$，得$(0+1)z-1=0$，故$z=1$。 两边求全微分：$z\mathrm{d}x+(x+1)\mathrm{d}z-2y\mathrm{d}y=2xf(x-z,y)\mathrm{d}x+x^2(f_u(\mathrm{d}x-\mathrm{d}z)+f_v\mathrm{d}y)$。 代入$(0,1,1)$：$1\cdot\mathrm{d}x+1\cdot\mathrm{d}z-2\cdot1\cdot\mathrm{d}y=0+0$，故$\mathrm{d}x+\mathrm{d}z-2\mathrm{d}y=0$，得$\mathrm{d}z=-\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求二元函数 f(x,y) 的极小值
首先求函数 f(x,y)=x^2(2+y^2)+y ln y 的驻点。对 x 求偏导：f_x=2x(2+y^2)，令 f_x=0，得 x=0。对 y 求偏导：f_y=2x^2 y + ln y + 1，代入 x=0，得 f_y=ln y+1=0，解得 y=1/e。因此驻点为 (0, 1/e)。
公式：f_x=2x(2+y^2)=0, f_y=2x^2 y+ln y+1=0
提示：注意 ln y 的定义域 y>0。
步骤 2/3
目标：判断驻点是否为极小值点
计算二阶偏导数：f_xx=2(2+y^2)，f_xy=4xy，f_yy=2x^2+1/y。在驻点 (0,1/e) 处，A=f_xx=2(2+1/e^2)>0，B=f_xy=0，C=f_yy=1/(1/e)=e。判别式 AC-B^2=2(2+1/e^2)*e >0，且 A>0，故该点为极小值点。
公式：AC-B^2 >0 且 A>0 时取极小值
步骤 3/3
目标：计算极小值
将驻点 (0,1/e) 代入原函数：f(0,1/e)=0^2*(2+(1/e)^2)+(1/e)*ln(1/e)=0+(1/e)*(-1)= -1/e。
公式：f(0,1/e)= -1/e
提示：注意 ln(1/e)=-1。
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