高等数学

共 336 道题目

8 📝 有解析

### 第8题 8．如果函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin [\pi(x-1)]}{x-1}, & x<1 \\ \arcsin x+k, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ 处处连续，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

9 📝 有解析

### 第9题 9．$y=\sqrt{x}$ 在 $x=4$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

10 📝 有解析

### 第10题 10．交换二重积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{\mathrm{e}^{x}}^{\mathrm{e}} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

1 📝 有解析

### 第1题 1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\tan \left(x^{2}-1\right)}{x^{3}-1}=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．（C）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．

2 📝 有解析

### 第2题 2．设函数 $f(u)$ 可导且 $f^{\prime}(1)=0.5$ ，则 $y=f\left(x^{2}\right)$ 在 $x=-1$ 处的微分 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=-1}=$ （A）$-\mathrm{d} x$ ．（B） 0 ．（C） $\mathrm{d} x$ ．（D） $2 \mathrm{~d} x$ ．

3 📝 有解析

### 第3题 3．$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~d} t=$ （A） $\sin x$ ．（B） $\sin x^{2}$ ．（C） $2 x \sin x^{2}$ ．（D） $2 x \cos x^{2}$ ．

4 📝 有解析

### 第4题 4．已知函数 $f(x)$ 的一个原函数 $\ln ^{2} x$ ，则 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ （A） $\ln ^{2} x+C$ ．（B）$-\ln ^{2} x+C$ ．（C） $\ln x-\ln ^{2} x+C$ ．（D） $2 \ln x-\ln ^{2} x+C$ ．

5 📝 有解析

### 第5题 5． $\int_{1}^{5} \mathrm{e}^{\sqrt{2 x-1}} \mathrm{~d} x=$ （A） $\mathrm{e}^{3}$ ．（B） $2 \mathrm{e}^{3}$ ．（C） $3 \mathrm{e}^{3}$ ．（D） $4 e^{4}$ ．

6 📝 有解析

### 第6题 6．设 $f(x+y, x y)=x^{2}+y^{2}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=$ （A） $2 x-2$ ．（B） $2 x+2$ ．（C）$x-1$ ．（D）$x+1$ ．

7 📝 有解析

### 第7题 7．不定积分 $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

8 📝 有解析

### 第8题 8．设函数 $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+x$ 在 $x=1$ 处取得极大值 5 ，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$。

9 📝 有解析

### 第9题 9．已知 $f(2)=2, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=4, \int_{0}^{2} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$。

10 📝 有解析

### 第10题 10．已知 $\displaystyle z=u^{2} \cos v, u=x y, v=2 x+y, \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．

1 📝 有解析

### 第1题 1 设函数 $f(x)$ 为定义在 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，且 $\forall x \in(-\infty,+\infty), f(x+2)- f(x)=f(2)$ ，若 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数，则 $f(1)=$ $\_\_\_\_$ ．

2 📝 有解析

### 第2题 2 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{aligned} 2, & x>0, \\ \frac{1}{2}, & x=0, \\ -\frac{1}{2}, & x<0,\end{aligned}\right.$ 则 $f[f(x)]=$ $\_\_\_\_$ ．

3 📝 有解析

### 第3题 3 设 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

4 📝 有解析

### 第4题 $\displaystyle 4 \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x}=$ $\_\_\_\_$ ．

5 📝 有解析

### 第5题 $5 \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

6 📝 有解析

### 第6题 $\displaystyle 6 \quad I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．

7 📝 有解析

### 第7题 $\displaystyle 7 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{\sin ^{2} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

8 📝 有解析

### 第8题 $\displaystyle 8 I=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{x^{2}}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

9 📝 有解析

### 第9题 $\displaystyle 9 I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

10 📝 有解析

### 第10题 $\displaystyle 10 \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(2^{\frac{1}{x}}-2^{\frac{1}{x+1}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

11 📝 有解析

### 第11题 11 设 $\alpha>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}=$ $\_\_\_\_$ ． --- （疑似OCR编号错误，以下内容可能属于其他题目） 11 设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2}\right\}$ ，则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ． □

12 📝 有解析

### 第12题 12 数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$ $\_\_\_\_$。

15 📝 有解析

### 第15题 15 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-x)+x f(x)}{x^{2}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．

16 📝 有解析

### 第16题 16 设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，且 $f(1)=1$ 则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]=$ $\_\_\_\_$。 जैदिल्ली

17 📝 有解析

### 第17题 17 设 $a, b$ 为常数，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}-b\right)=0$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

18 📝 有解析

### 第18题 18 设 $a, b, p$ 为非零常数，则 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a+b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{a-b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{\sin p x}{|x|}=$ $\_\_\_\_$ ．

19 📝 有解析

### 第19题 $\displaystyle 19 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x}}{\mathrm{e}^{x}-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

20 📝 有解析

### 第20题 20 设 $f(x)$ 连续，$x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则 $x \rightarrow a$ 时 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$的 $\_\_\_\_$阶无穷小。（填阶数）

21 📝 有解析

### 第21题 21 已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ． □ 纠署笔记

22 📝 有解析

### 第22题 22 设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sin x(b \cos x-1)}{\mathrm{e}^{x}+a}, & x>0 \\ \frac{\sin x}{\ln (1+3 x)}, & x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点极限存在，则 $a, b$ 分别为 $\_\_\_\_$。

23 📝 有解析

### 第23题 23 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\mathrm{e}^{a x^{3}}-1}{x-\arcsin x}, & x>0 \\ 6, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$。 □

24 📝 有解析

### 第24题 24 设 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-b}{(x-a)(x-b)}$ 有无穷间断点 $x=\mathrm{e}$ ，可去间断点 $x=1$ ，则 $(a, b)=$ $\_\_\_\_$ ．

25 📝 有解析

### 第25题 25 设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$ ，则 $f(x)$ 的连续区间是 $\_\_\_\_$ ．

26 📝 有解析

### 第26题 26 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\arctan x, & x \leqslant 1, \\ \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}-1}-x\right)+\frac{\pi}{4}, & x>1\end{array}\right.$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

27 📝 有解析

### 第27题 27 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+b x)}{x}, & x \neq 0, \\ -1, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$。 S纠铺笔记

28 📝 有解析

### 第28题 28 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0, \\ x^{a} \sin \frac{1}{x}, & x>0,\end{array}\right.$ 若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ；若 $f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$。 जेन्दिरुषि □

29 📝 有解析

### 第29题 29 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且是偶函数，$f^{\prime}(-2)=-1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)}=$ $\_\_\_\_$ ．

30 📝 有解析

### 第30题 30．设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=3$ ，则 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos \frac{1}{n}}}=$ $\_\_\_\_$ ． □

31 📝 有解析

### 第31题 31 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则 $$ I=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}= $$ $\_\_\_\_$ ．

32 📝 有解析

### 第32题 32 设 $f(x)=x^{\sin x}(x>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

33 📝 有解析

### 第33题 $33 f(x)=x^{2}(x+1)^{2}(x+2)^{2}(x+3)^{2}$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

34 📝 有解析

### 第34题 34 设 $\displaystyle f(x)=(x-1) x^{\frac{2}{3}}$ ，则 $f(x)$ 的凸区间是 $\_\_\_\_$ ，拐点的横坐标是 $\_\_\_\_$ ．

35 📝 有解析

### 第35题 35 设 $y=y(x)$ 由方程 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． 36 曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=2$ 垂直的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

37 📝 有解析

### 第37题 37 设 $f(x)=\int_{0}^{x} \ln (1+\sin t) \mathrm{d} t$ ，则 $f^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$。

38 📝 有解析

### 第38题 38 设函数 $y=y(x)$ 为由方程 $x^{2}+\int_{0}^{y}\left(2+\sin t^{2}\right) \mathrm{d} t=1$ 确定的隐函数，则 $\mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。

39 📝 有解析

### 第39题 39 设 $y=y(x)$ 在 $(-1,1)$ 二阶可导，满足方程：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}-x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+a^{2} y=0$ ，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数满足的方程是 $\_\_\_\_$ ．

40 📝 有解析

### 第40题 40 设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1-2 x}{1+3 x}$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． □ □ □ □ □

41 📝 有解析

### 第41题 41 设 $\displaystyle f(x)=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． $\_\_\_\_$。 □

43 📝 有解析

### 第43题 43 函数 $\displaystyle y=\frac{(x-3)^{2}}{4(x-1)}$ 的单调增区间是 $\_\_\_\_$ ，单调减区间是 $\_\_\_\_$ ，极值是 $\_\_\_\_$ ，凹区间是 $\_\_\_\_$ ，凸区间是 $\_\_\_\_$。

44 📝 有解析

### 第44题 44 设 $(1,3)$ 是曲线 $y=x^{3}+a x^{2}+b x+14$ 的拐点，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

45 📝 有解析

### 第45题 45 设 $f(x)=3 x^{2}+A x^{-3}(x>0), A$ 为正常数，则 $A$ 至少为 $\_\_\_\_$时，有 $f(x) \geqslant 20(x>0)$ ． $\_\_\_\_$ ．

49 📝 有解析

### 第49题 49 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．

50 📝 有解析

### 第50题 50 设 $y=y(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(4-y) y^{\beta}(\beta>0)$ ，若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $\left(x_{0}\right.$ ， 3 ），则 $\beta=$ $\_\_\_\_$ ．

51 📝 有解析

### 第51题 51 设 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\arctan x+C$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

52 📝 有解析

### 第52题 $\displaystyle 52 . I=\int \sqrt{\frac{3-2 x}{3+2 x}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

53 📝 有解析

### 第53题 $\displaystyle 53 I=\int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

54 📝 有解析

### 第54题 $\displaystyle 54 I=\int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ． Quan新笔说

55 📝 有解析

### 第55题 55 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin x+1, & x>0, \\ \frac{1}{1+x^{2}}, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的所有原函数为 $\_\_\_\_$ ．

56 📝 有解析

### 第56题 $\displaystyle 56 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}}{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{n+k}}=$ $\_\_\_\_$ ．

57 📝 有解析

### 第57题 $57 . I_{1}=\int \cos ^{4} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ，$I_{2}=\int \sin ^{4} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

58 📝 有解析

### 第58题 58 设 $f(x)$ 有一阶导数且满足 $\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

59 📝 有解析

### 第59题 $59 I=\int_{0}^{1} \arcsin x \cdot \arccos x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

60 📝 有解析

### 第60题 $60 I=\int_{0}^{1}\left[\sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}\right] \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

61 📝 有解析

### 第61题 61 设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$ $\_\_\_\_$。

62 📝 有解析

### 第62题 $\displaystyle 62 f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0 \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1

63 📝 有解析

### 第63题 63 设 $f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则 $$ F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t(x \geqslant 1) $$ 的极小值点是 $x=$ $\_\_\_\_$ ．

64 📝 有解析

### 第64题 64 定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x|\sin x \cos x|}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

65 📝 有解析

### 第65题 65 设 $f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ．

66 📝 有解析

### 第66题 66 在曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 上取一点 $\left(t, t^{2}\right)(0

67 📝 有解析

### 第67题 $\displaystyle 67 \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{2 x^{2}-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．

68 📝 有解析

### 第68题 $\displaystyle 68 I=\int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

69 📝 有解析

### 第69题 $\displaystyle 69 \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。

70 📝 有解析

### 第70题 70 椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 绕 $x$ 轴旋转一周的体积为 $\_\_\_\_$ ．

71 📝 有解析

### 第71题 71 若不定积分 $\displaystyle \int \frac{x^{2}+a x+2}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{d} x$ 的结果中不含反正切函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．组鿏笔记

72 📝 有解析

### 第72题 72 不定积分 $\displaystyle I=\int \frac{x+2}{2 x^{2}+x+1} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

73 📝 有解析

### 第73题 $\displaystyle 73 I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x) \cos x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

74 📝 有解析

### 第74题 74 设 $a>0$ ，则 $\displaystyle I=\int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \ln \frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{3} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

75 📝 有解析

### 第75题 75 设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数， $\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=A$ ，则 $\int_{0}^{2 T} f(3 x+T) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

76 📝 有解析

### 第76题 76 设 $y=y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，在 $\forall x \in(0,+\infty)$ 处的增量 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 满足 $\displaystyle \Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+\alpha$ ，其中 $\alpha$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时是与 $\Delta x$ 等价的无穷小．又 $y(0)=1$ ，则 $y(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

77 📝 有解析

### 第77题 77 设 $a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b, y=y(x)$ 是微分方程 $$ y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x) \quad(x \in[0,+\infty)) $$ 的解，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 78 若通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于 $\displaystyle 1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ ，则此曲线的方程是 $\_\_\_\_$ ． C □

79 📝 有解析

### 第79题 79 微分方程 $\displaystyle (x \tan y+\sin 2 y) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=1$ 满足 $y(0)=0$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．

80 📝 有解析

### 第80题 80 微分方程 $y y^{\prime \prime}+2\left(y^{\prime}\right)^{2}=0$ 满足初始条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1$ 的特解是 $\_\_\_\_$。

81 📝 有解析

### 第81题 81 方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=(6 x+2) \mathrm{e}^{x}$ 满足 $y(0)=3, y^{\prime}(0)=0$ 的特解 $y^{*}=$ $\_\_\_\_$ ．

82 📝 有解析

### 第82题 82 已知连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。（－）纠钵笔记

83 📝 有解析

### 第83题 83 设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+2 m y^{\prime}+n^{2} y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime}(0)=b$ 的特解，其中 $m>n>0$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

84 📝 有解析

### 第84题 84 已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ．

85 📝 有解析

### 第85题 85 设 $u=u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\left(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0\right)$ 有二阶连续的偏导数，且满足 $$ $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}+y^{2}$ $$ 则 $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

86 📝 有解析

### 第86题 86 设 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\mathrm{e}^{x y}+x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，则 $f_{x}^{\prime}(1,0)=$ $\_\_\_\_$ ．

87 📝 有解析

### 第87题 87 设 $z=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x+y}+y^{2}+(x+y)^{3}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ．

89 📝 有解析

### 第89题 89 设 $f(x, y)=\ln |x+y|-\sin (x y)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值为 $\_\_\_\_$ ．

90 📝 有解析

### 第90题 90 已知可微函数 $f(u, v)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f(u, v)}{\partial u}+\frac{\partial f(u, v)}{\partial v}=(u+v) \mathrm{e}^{v}$ ，且 $f(0, v)=(v-2) \mathrm{e}^{v}$ ．求 $f(x, x+y)=$ $\_\_\_\_$ ．

91 📝 有解析

### 第91题 91 设 $z=\mathrm{e}^{x y}+f(x+y, x y), f(u, v)$ 有二阶连续偏导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．

92 📝 有解析

### 第92题 92 已知函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，且 $f(1,2)=1, f_{x}^{\prime}(1,2)=2$ ， $f_{y}^{\prime}(1,2)=3$ ，设函数 $\varphi(x)=f(x, 2 f(x, 2 x))$ ，则 $\varphi^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ． ↓ 细罚笔记

93 📝 有解析

### 第93题 93 设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=1$ ，又 $g(x, y)=f\left(x^{2}+\right. \left.y^{2}, x y\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． 94设 $z=\int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{d} t, 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，则 $z_{x x}^{\prime \prime}+z_{y y}^{\prime \prime}=$ $\_\_\_\_$ ．

95 📝 有解析

### 第95题 95 设 $f(x), g(x)$ 可微，$u(x, y)=f(2 x+5 y)+g(2 x-5 y)$ ，且满足 $u(x, 0)=\sin 2 x$ ， $u_{y}^{\prime}(x, 0)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 96设 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ ，且 $f(x, 0)=x, f(0, y)=y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．

97 📝 有解析

### 第97题 97 设连续函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．

98 📝 有解析

### 第98题 98 设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-a-b x-c y}{\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)}=1$ ，其中 $a, b, c$ 为常数，则 $\left.\mathrm{d} f(x, y)\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．

99 📝 有解析

### 第99题 99 设 $\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y$ 是一个函数 $f(x, y)$ 的全微分，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ，$f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．

100 📝 有解析

### 第100题 100 设 $u=f(x, y, z)=\mathrm{e}^{x}+y^{2} z$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x+y+z+x y z=0$ 所确定的隐函数，则 $u_{x}^{\prime}(0,1,-1)=$ $\_\_\_\_$。

101 📝 有解析

### 第101题 101 若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．

102 📝 有解析

### 第102题 102 设函数 $f(u, v)$ 可微，$z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z-y^{2}=x^{2} f(x-z, y)$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．

103 📝 有解析

### 第103题 103 设 $f(x)$ 为连续函数，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\int_{x}^{y} f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定二元函数 $z=z(x, y)$ ，则 $\displaystyle z\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

104 📝 有解析

### 第104题 104 二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ．

105 📝 有解析

### 第105题 105 设方程式 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-4 z-10=0$ 确定某隐函数 $z=z(x, y)>0$ ，则 $z=z(x, y)$ 的极 $\_\_\_\_$值点是 $\_\_\_\_$ ，相应的极值是 $\_\_\_\_$ ．

106 📝 有解析

### 第106题 106 设 $a>0$ ，交换积分次序 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ． 107交换积分次序 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．纠铺笔记

108 📝 有解析

### 第108题 108 将直角坐标下的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算 $$ I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x= $$ $\_\_\_\_$。

109 📝 有解析

### 第109题 109 交换积分次序 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r=$ $\_\_\_\_$ ．

110 📝 有解析

### 第110题 110 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

111 📝 有解析

### 第111题 111 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

112 📝 有解析

### 第112题 112 计算 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta}} r^{2} \mathrm{~d} r+\int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

113 📝 有解析

### 第113题 113 计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2 n+1}}\left(\int_{1}^{\frac{1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\int_{1}^{\frac{3}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\cdots+\int_{1}^{\frac{2 n-1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

114 📝 有解析

### 第114题 114 设 $D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y$ ，则 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

115 📝 有解析

### 第115题 115 设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

116 📝 有解析

### 第116题 116 设 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ． □

117 📝 有解析

### 第117题 117 已知函数 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．

118 📝 有解析

### 第118题 118 设 $f(x, y)$ 为连续函数，且 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．

120 📝 有解析

### 第120题 120 设积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2, y=0$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．

576 📝 有解析

### 第576题 576 设 $f(x)$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 上定义的周期为 2 的奇函数，且当 $x \in(2,3)$ 时 $f(x)= x^{2}-x-1$ ，则当 $x \in[-2,0]$ 时 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

577 📝 有解析

### 第577题 577．设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，则 $f[f(x)]=$ $\_\_\_\_$ ．

578 📝 有解析

### 第578题 $\displaystyle 578 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-(x+1) \ln (x+1)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． □ 纠籍笔记

580 📝 有解析

### 第580题 580 当 $x \rightarrow 0$ 时，连续函数 $f(x)$ 为二阶无穷小， $\int_{0}^{\sqrt[3]{x}} f(t) \mathrm{d} t$ 为 $k$ 阶无穷小，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

581 📝 有解析

### 第581题 $\displaystyle 581 f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n-1}+x}{x^{2 n}+1}$ 的不可导点的个数正好有 $\_\_\_\_$个．

582 📝 有解析

### 第582题 582 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}h(x) \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 并设 $h(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$h(0)=0, h^{\prime}(0)=0$ ．则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

584 📝 有解析

### 第584题 584 设 $\displaystyle y=\frac{2 x+2}{x^{2}+2 x-3}$ ，则其 $n$ 阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{n} y}{\mathrm{~d} x^{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．

585 📝 有解析

### 第585题 585 函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}-\frac{16}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的最小值为 $\_\_\_\_$。

586 📝 有解析

### 第586题 586 设平面有界区域 $D$ 由曲线 $x=y^{2}$ 与直线 $x+y=2$ 围成，则 $D$ 的面积为 $\_\_\_\_$ ， $D$ 绕 $y$ 轴旋转形成的旋转体体积为 $\_\_\_\_$。

587 📝 有解析

### 第587题 587 设曲线 $L_{1}: y=1-x^{2}$ 与正 $x$ 轴、正 $y$ 轴所围成的区域被曲线 $L_{2}: y=a x^{2}$ 分为面积相等的两部分，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$。 □

588 📝 有解析

### 第588题 588 过原点与曲线 $C: y=x^{2}+1$ 相切的两条切线与 $C$ 所围成的图形绕 $y$ 轴旋转生成的旋转体体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ．

589 📝 有解析

### 第589题 589 某地区居民购买冰箱的消费支出 $w(x)$ 的变化率是居民总收人 $x$ 的函数为 $\displaystyle \frac{1}{200 \sqrt{x}}$ ，当居民收人由 4 亿元增加到 9 亿元时购买冰箱的消费支出增加了 $\_\_\_\_$亿。

590 📝 有解析

### 第590题 590 设生产某产品的固定成本为 50 ，产量为 $x$ 时的边际成本函数为 $C^{\prime}(x)=x^{2}-14 x+$ 111 ，边际收益函数为 $R^{\prime}(x)=100-2 x$ ，则总利润函数 $L(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

591 📝 有解析

### 第591题 $\displaystyle 591 x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x \sin \frac{y^{\prime}}{x}$ 的通解是 $\_\_\_\_$ ．

592 📝 有解析

### 第592题 $592 y^{\prime \prime}-4 y=\mathrm{e}^{2 x}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ． 593已知 $\displaystyle y_{1}=\cos 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x, y_{2}=\sin 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$ 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的两个解，$y_{3}=\cos 2 x$ 是它所对应的齐次方程的一个解，则该微分方程是 $\_\_\_\_$ ．

594 📝 有解析

### 第594题 594 方程 $\left(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 满足条件 $y(1)=0$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．

595 📝 有解析

### 第595题 595 设函数 $f(x)$ 满足 $x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-4 x$ ，且由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 以及 $x$ 轴可围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{2 x y-y^{2}}{x^{2}-2 x y}$ 满足 $y(1)=-2$ 的特解是 $\_\_\_\_$ ．

597 📝 有解析

### 第597题 597 把 $x^{2}$ 看成 $y$ 的函数，求解微分方程 $\left(y^{4}-3 x^{2}\right) \mathrm{d} y+x y \mathrm{~d} x=0$ ，则该方程的通解是 $\_\_\_\_$ ．

598 📝 有解析

### 第598题 598 差分方程 $y_{t+1}+5 y_{t}-3 t^{2}+t=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

599 📝 有解析

### 第599题 599 某公司每年投入研究开发新品的费用总额在比上一年增加 $30 \%$ 的基础上再追加 4百万元．若以 $W_{t}$ 表示第 $t$ 年的研发新品费用总额（单位：百万元），则 $W_{t}$ 满足的差分方程是 $\_\_\_\_$。

600 📝 有解析

### 第600题 600 某银行账户，以连续复利方式计息年利率为 $5 \%$ ，希望连续20年以每年12000元的速率取款，若 $t$ 以年为单位，为使 20 年后账户中余额为零，则初始存入的数额为 $\_\_\_\_$元．

601 📝 有解析

### 第601题 601 在级数（1）$\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\cdots$ ，（2） $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\cdots$ ，（3） $\displaystyle 2-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-\frac{5}{4}+\cdots+\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}+\cdots$ ，（4）$\displaystyle \left(2-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{4}{3}\right)+\left(\frac{4}{3}-\frac{5}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}\right)+\cdots$ 中，发散级数的序号是 $\_\_\_\_$ ．

602 📝 有解析

### 第602题 602 已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n^{\alpha}}$ 收敛，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ．

603 📝 有解析

### 第603题 603 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递减的正数列，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n a_{n}}{a_{n+1}} x^{n}$ 的收敛区间是 $\_\_\_\_$。 604已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=1$ 处条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛半径为 $\_\_\_\_$。 □ 605设 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 2^{n} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．

606 📝 有解析

### 第606题 606 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n}$ 在 $x=2$ 处发散，在 $x=-1$ 处收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域是 $\_\_\_\_$ ．

607 📝 有解析

### 第607题 607 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n\left[4^{n}+(-3)^{n}\right]}$ 的收敛半径 $R=$ $\_\_\_\_$ ，收敛域为 $\_\_\_\_$ ．

608 📝 有解析

### 第608题 608 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}}\right) x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

609 📝 有解析

### 第609题 609 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2 n+1}{(2 n)!} x^{2 n}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x \in$ $\_\_\_\_$ ）．

610 📝 有解析

### 第610题 610 幂级数 $$ 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{2 \cdot 4}-\frac{x^{6}}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!!}+\cdots $$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ． □

611 📝 有解析

### 第611题 611 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ． □

612 📝 有解析

### 第612题 612 把函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-2 x-3}$ 展开为 $x$ 的幂级数，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

613 📝 有解析

### 第613题 $613 f(x)=\ln \left(2+x-3 x^{2}\right)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $\_\_\_\_$。

614 📝 有解析

### 第614题 614 设 $f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 的幂级数展开式是 $\_\_\_\_$ ．

615 📝 有解析

### 第615题 615 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{2} 2^{n}} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$。

1 📝 有解析

### 第1题 1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(3-n)^{3}}{(n+1)^{2}-(n+1)^{3}}=$ （A）$\infty$ ．（B） 0 ．（C）-1 ．（D） 1 ．

2 📝 有解析

### 第2题 2．设 $a$ 是常数，则当函数 $\displaystyle f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值时，必有 $a=$ （A） 0 ．（B） 1 ．（C） 2 ．（D） 3 ．

3 📝 有解析

### 第3题 3．设 $y=x^{n}+\mathrm{e}^{x}$ ，则 $y^{(n)}=$ （A） $\mathrm{e}^{x}$ ．（B）$n!$ ．（C）$n!+\mathrm{e}^{x}$ ．（D）$n!+n \mathrm{e}^{x}$ ．

4 📝 有解析

### 第4题 4． $\int_{1}^{\mathrm{e}} \ln x \mathrm{~d} x=$ （A）e．（B） 0 ．（C） 1 ．（D） $\mathrm{e}+1$ ．

5 📝 有解析

### 第5题 5．设函数 $\displaystyle z=\frac{x+y}{x-y}$ ，则 $\mathrm{d} z=$ （A）$\displaystyle \frac{2(x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x)}{(x-y)^{2}}$ ．（B）$\displaystyle \frac{2(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)}{(x-y)^{2}}$ ．（C）$\displaystyle \frac{2(x \mathrm{~d} x-y \mathrm{~d} y)}{(x-y)^{2}}$ ．（D）$\displaystyle \frac{2(y \mathrm{~d} y-x \mathrm{~d} x)}{(x-y)^{2}}$ ．

6 📝 有解析

### 第6题 6．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{n} x^{n}}{3^{n} n!}$ 的收敛半径 $R=$ （A）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{3}$ ．（B）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{2}$ ．（C）$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}$ ．（D）$\displaystyle \frac{3}{\mathrm{e}}$ ．

121 📝 有解析

### 第121题 121 设有下列命题（1）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛（即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ），则 $x_{n}$ 有界。（2）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$ ．其中 $l$ 为某个确定的正整数．（3）数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$ 。（4）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ ．则以上命题中正确的个数是（A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 4 ．

122 📝 有解析

### 第122题 122 设 $\displaystyle 1

123 📝 有解析

### 第123题 123 有以下命题：设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在， $\lim _{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在，（1） $\lim _{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在．（2） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在．（3） $\lim _{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在．（4） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在．则以上命题中正确的个数是（A） 0 ．（B） 1 ．（C） 2 ．（D） 3 ． 124设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\ln (x-1)}{(x-1)(x-2)}, \\ 0,\end{array}\right.$ $$ $\begin{aligned}$ & x \in(1,2) \cup(2,+\infty) \text {, 则 } f(x) \\ & \qquad x=2 \\ & \text { (B) 在 }(2,+\infty) \text { 区间有界. } \\ & \text { (D) 在 }(1,2) \text { 和 }(2,+\infty) \text { 区间都无界. } \end{aligned} $$ （A）在 $(1,2)$ 区间有界．（C）在 $(1,+\infty)$ 区间有界． ✓

125 📝 有解析

### 第125题 125 下列命题中正确的是（A）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x) \geqslant g(x)$ ．（B）若存在 $\delta>0$ 使得当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A_{0}$ ， $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B_{0}$ 均存在，则 $A_{0}>B_{0}$ ．（C）若存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ ．（D）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)>\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ ． □

126 📝 有解析

### 第126题 $\displaystyle 126 \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\left[\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}+\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}\right\}=$ （A）-1 ．（B） 1 ．（C）e．（D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}$ ．

127 📝 有解析

### 第127题 127 当 $n \rightarrow \infty$ 时，数列 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\displaystyle \frac{1}{n}$ 的（A）高阶无穷小。（B）低阶无穷小。（C）等价无穷小．（D）同阶但非等价无穷小。

128 📝 有解析

### 第128题 128 设 $\displaystyle u_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ，则下列命题正确的是（A） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ．（B） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$ ．（C） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ．（D） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$ ．

129 📝 有解析

### 第129题 $\displaystyle 129 f(x)=\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$ ，则当 $x \rightarrow 1$ 时有（A） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-\pi$ ．（B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ．（C） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\infty$ ．（D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在，且 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \neq \infty$ ．

130 📝 有解析

### 第130题 $\displaystyle 130 I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=$ （A） 0 ．（B）$\displaystyle -\frac{1}{6}$ ．（C）$\displaystyle -\frac{1}{8}$ ．（D）$\displaystyle -\frac{1}{12}$ ．

131 📝 有解析

### 第131题 131 若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$ ，则（A）$k=2, a=1$ ．（B）$k=-2, a=-1$ ．（C）$k=2, a=-2$ ．（D）$k=2, a=-1$ ．

132 📝 有解析

### 第132题 132． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x}=$ （A） 1 ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．（D） 0 ．

133 📝 有解析

### 第133题 $\displaystyle 133 \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=$ （A） 1 ．（B）$\displaystyle e^{-\frac{1}{4}}$ ．（C）$\displaystyle e^{-\frac{1}{3}}$ ．（D） $\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ ．

134 📝 有解析

### 第134题 134 已知 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$ ，则（A）$a=5, b=-2$ ．（B）$a=-2, b=5$ ．（C）$a=2, b=0$ ．（D）$a=3, b=-3$ ．

135 📝 有解析

### 第135题 135 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^{3}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^{2}}=$ （A） 0 ．（B） 35 ．（C） 36 ．（D）$\infty$ ．

136 📝 有解析

### 第136题 136
下列各题计算过程中正确无误的是（A）数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(\ln n)^{\prime}}{n^{\prime}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ．（B） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{3 x^{2}-2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-\pi^{2} \sin \pi x}{6}=0$ ．（C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$ 不存在．（D） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\infty$ ．

137 📝 有解析

### 第137题 $\displaystyle 137 \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=$ （A） 3 ．（B） 2 ．（C）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．

138 📝 有解析

### 第138题 138 当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是（A）$(1+x)^{x^{2}}-1$ ．（B） $\mathrm{e}^{x^{4}-2 x}-1$ ．（C） $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ．（D）$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ ．

139 📝 有解析

### 第139题 139 设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题（1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。（2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小．（3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小．（4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小．中，正确的个数是（A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 4 ．

140 📝 有解析

### 第140题 140 设 $f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷小 $x$ 的阶为（A）一阶．（B）二阶．（C）三阶．（D）四阶．

141 📝 有解析

### 第141题 141 以下函数 $f(g(x))$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是（A）$f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+1, & x>0\end{array}\right.$ ．（B）$f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0 \\ u^{2}+1, & u>0\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$ ．（C）$\displaystyle f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0 \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0 \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0\end{array}\right.\right.$ ．（D）$\displaystyle f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{array}\right.$ ．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ ，则

143 📝 有解析

### 第143题 143 设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 间断，则在点 $x_{0}$ 处必定间断的函数是（A）$f(x) \sin x$ ．（B）$f(x)+\sin x$ ．（C）$f^{2}(x)$ ．（D）$|f(x)|$ ．

144 📝 有解析

### 第144题 144 ＂$f(x)$ 在 $x_{0}$ 点连续＂是 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 点连续的（A）充分条件，但不是必要条件．（B）必要条件，但不是充分条件．（C）充分必要条件．（D）既不是充分，也不是必要条件．

145 📝 有解析

### 第145题 145 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 连续，则＂存在 $x_{n} \in[a,+\infty)$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)= \infty$＂是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 无界的（A）充分非必要条件．（B）必要非充分条件．（C）充要条件．（D）既非充分又非必要条件． □

146 📝 有解析

### 第146题 146 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0 \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（A）极限不存在．（B）极限存在，但不连续．（C）连续，但不可导．（D）可导． □

147 📝 有解析

### 第147题 147 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\mathrm{e}^{x^{2}-1}}, & |x|<1 \\ x^{4}-b x^{2}+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 可导，则 $(b, c)=$ （A）$(2,1)$ ．（B）$(1,0)$ ．（C）$\displaystyle \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ ．（D）$(3,2)$ ． 148设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 二阶连续可导，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ ，则

149 📝 有解析

### 第149题 149 设 $f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的（A）充分非必要条件．（B）必要非充分条件．（C）充分必要条件．（D）既非充分又非必要条件．

150 📝 有解析

### 第150题 150 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h}$ 等于（A） 5 ．（B） 3 ．（C） 4 ．（D） 7 ．

151 📝 有解析

### 第151题 151 设函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，$f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导，则 $g(a)$满足（A）$g(a)=a$ ．（B）$g(a) \neq a$ ．（C）$g(a)=0$ ．（D）$g(a) \neq 0$ ．

152 📝 有解析

### 第152题 152 设 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ （A）$\displaystyle \frac{3^{n}}{n!}$ ．（B）$n^{2} 3^{n-1}$ ．（C） $3^{n-2} n(n-1)$ ．（D） $3^{n-2}(n-1)(n-2)$ ．

153 📝 有解析

### 第153题 153 设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=a$ 处不可导的充分必要条件是（A）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a)=0$ ．（B）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a) \neq 0$ ．（C）$f(a)>0$ ，且 $f^{\prime}(a)>0$ ．（D）$f(a)<0$ ，且 $f^{\prime}(a)<0$ ．

154 📝 有解析

### 第154题 154 设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ ，则（A）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a$ ．（B）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续，但未必可导．（C）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必有极限但未必连续．（D）以上结论都不对．

155 📝 有解析

### 第155题 155 设 $f(x)$ 为连续函数，$g(x)=\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$ ，则 $g^{\prime}(x)=$ （A）$-\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ．（B） $\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ．（C）$-\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ．（D） $\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ．

156 📝 有解析

### 第156题 156 设常数 $a>1, y=x$ 为曲线 $y=a^{x}$ 的切线，则（A）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ ．（B）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ 。（C）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ 。（D）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{e}}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{e}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{e}}\right)$ 。

157 📝 有解析

### 第157题 157 设 $f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数，则函数 $\displaystyle g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$ ， $+\infty$ ）（A）有界函数．（B）有极值．（C）单调增函数．（D）单调减函数．

158 📝 有解析

### 第158题 158 设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $\exists \delta>0$ ，使得（A）$f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 单调上升．（B）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right), x \neq x_{0}$ ．（C）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ ．（D）$f(x)

159 📝 有解析

### 第159题 159 设 $f(x)$ 对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ 满足方程 $(x-1) f^{\prime \prime}(x)+2(x-1)\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}= 1-\mathrm{e}^{1-x}$ ，且 $f(x)$ 在 $x=a(a \neq 1)$ 处 $f^{\prime}(a)=0$ ，则 $x=a$ （A）是 $f(x)$ 的极小值点．（B）是 $f(x)$ 的极大值点．（C）不是 $f(x)$ 的极值点．（D）是 $f(x)$ 的拐点．

160 📝 有解析

### 第160题 160 设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(1)=0, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{2}$ ，则（A）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极大值．（B）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极小值．（C）$(1, f(1))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．（D）$f(1)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(1, f(1))$ 也不是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．

161 📝 有解析

### 第161题 161 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$ ，则（A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．（B）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．（C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．（D）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,1)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．

162 📝 有解析

### 第162题 162 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，则下述命题中正确的是（A）若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导且单调增加，则对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，都有 $f^{\prime}(x)>0$ ．（B）若 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ．（C）若 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点坐标．（D）若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点． □ 163设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导，$f(a)=\max _{[a, b]} f(x)$ ，则

164 📝 有解析

### 第164题 164 数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots, \sqrt[n]{n}, \cdots$ 的最大项为（A）$\sqrt{2}$ ．（B）$\sqrt[3]{3}$ ．（C）$\sqrt[4]{4}$ ．（D）$\sqrt[5]{5}$ ． □ 纠锂笔记

165 📝 有解析

### 第165题 165 设 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 3 ，最小值是 -29 ，且 $a>0$ ，则（A）$a=2, b=-29$ ．（B）$a=3, b=2$ ．（C）$a=2, b=3$ ．（D）以上都不对．纠钱笔记

166 📝 有解析

### 第166题 166 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内存在二阶导数且 $f(a)<0, f(b)>0, f^{\prime \prime}(x)>$ 0 ．则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内（A）没有零点．（B）正好有 1 个零点．（C）正好有 2 个零点．（D）有多于 2 个零点．

167 📝 有解析

### 第167题 167 以下四个命题中，正确的是（A）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．（B）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．（C）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．（D）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．

168 📝 有解析

### 第168题 168 设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 可导，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界是 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界的（A）必要非充分条件．（B）充分非必要条件．（C）充分且必要条件．（D）既非充分也非必要条件．

169 📝 有解析

### 第169题 169 函数 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其二阶导函数的图形如图所示，则 $y=f(x)$ 的拐点的个数是（A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 4 ．

170 📝 有解析

### 第170题 170 设 $[0,+\infty)$ 区间上 $y=f(x)$ 的导函数的图形如下图所示则 $y=f(x)$ 的拐点的个数是（A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 4 ．

171 📝 有解析

### 第171题 171 设曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$ ，则（A）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ．（B）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ．（C）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点．（D）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． 172函数 $f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$

173 📝 有解析

### 第173题 173 设 $f(x)$ 在 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内存在导数，$f^{\prime}(x)$ 单调减少，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$ ，则（A）在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)x$ ．（C）在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)x$ ．（D）在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)>x$ ，在 $(1,1+\delta)$ 内有 $f(x)

174 📝 有解析

### 第174题 174 曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ （A）既有铅直又有水平与斜渐近线．（B）仅有铅直渐近线．（C）只有铅直与水平渐近线．（D）只有铅直与斜渐近线．

175 📝 有解析

### 第175题 175 函数 $f(x)=3 \ln x-x$ （A）没有零点．（B）有 1 个零点．（C）有 2 个零点．（D）有 3 个零点．

176 📝 有解析

### 第176题 176 设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数，则 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内（A）可导．（B）连续．（C）存在原函数．（D）是初等函数．

177 📝 有解析

### 第177题 177 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则 $F(x)$ （A）在 $(-1,1)$ 为无界函数．（B）在 $(-1,1)$ 为连续有界函数．（C）在 $(-1,1)$ 有间断点 $x=0$ ．（D）在 $[-1,1]$ 不可积．

178 📝 有解析

### 第178题 178 设 $f(x)$ 一阶可导，$f(x)>0, f^{\prime}(x)>0$ ，则当 $\Delta x>0$ 时（A） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>f(x) \Delta x>0$ ．（B） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>0$ ．（D）$f(x) \Delta x<\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t<0$ ．

179 📝 有解析

### 第179题 179 考察下列叙述：（1）设 $f^{2}(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续．（2）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 连续．（3）设 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积．（4）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界，只有有限个间断点，则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，即在 $[a, b]$ 存在定积分．我们可知（A）只有（1），（2）正确．（B）只有（2），（3）正确．（C）只有（2），（4）正确．（D）只有（3），（4）正确． □

180 📝 有解析

### 第180题 180 下列函数在指定区间上不存在定积分的是（A）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$ ．（B）$f(x)=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0 \\ 0, & x=0, x \in[a, b] \text { ．} \\ -1, & x<0\end{array}\right.$ （C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\tan x, & x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ 0, & x= \pm \frac{\pi}{2}\end{array}, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right.$ ．（D）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$.

181 📝 有解析

### 第181题 181 下列命题中有一个正确的是（A）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$f(x) \geqslant 0, \not \equiv 0$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．（B）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积，则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积．（C）设 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积．（D）设 $x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $[a, b] /\left\{x_{0}\right\}$ 连续且有界，$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的间断点，则 $F(x)= \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=x_{0}$ 不可导．

182 📝 有解析

### 第182题 182 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，则下列结论中正确的个数为（1）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 的任意子区间 $[\alpha, \beta]$ 上 $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(\forall x \in[a, b])$ ．（2）$f(x) \geqslant 0(x \in[a, b])$ ，又 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(x \in[a, b])$ ．（3）$[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ．（A） 0 ．（B） 1 ．（C） 2 ．（D） 3 ．

183 📝 有解析

### 第183题 183 下述结论不正确的是（A） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x<1$ ．（B） $\int_{0}^{2 \pi} \cos x \cdot \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x>0$ ．（C） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<0$ ．（D） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>1$ ．

184 📝 有解析

### 第184题 184 设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则（A）$M>N>K$ ．（B）$M>K>N$ ．（C）$K>M>N$ ．（D）$K>N>M$ ．

185 📝 有解析

### 第185题 185 设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则（A）$I_{1}<1

186 📝 有解析

### 第186题 186 下列用牛顿一莱布尼茨公式计算积分的做法中，错误的做法一共有（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{3} x-\sin ^{5} x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \sin ^{\frac{3}{2}} x \cos x \mathrm{~d} x=\left.\frac{2}{5} \sin ^{\frac{5}{2}} x\right|_{0} ^{\pi}=0$ ．（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{x}=\left.\ln |x|\right|_{-1} ^{1}=0$ ．（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} x}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right|_{0} ^{\pi}=0$ ．（4） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}\left(\arctan \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=\left.\arctan \frac{1}{x}\right|_{-1} ^{1}=\frac{\pi}{2}$ ．（A） 1 个．（B） 2 个．（C） 3 个．（D） 4 个．

187 📝 有解析

### 第187题 $187 \quad I=\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x=$ （A）$\pi$ ．（B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．（C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．

188 📝 有解析

### 第188题 $\displaystyle 188 I=\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$ （A）$\pi$ ．（B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．（C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．（D）$\displaystyle \frac{\pi}{8}$ ．

189 📝 有解析

### 第189题 $\displaystyle 189 I=\int_{0}^{1} x^{4} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{3}{8}+\frac{8}{15} \pi$ ．（B）$\displaystyle \frac{3}{16} \pi+\frac{8}{15}$ ．（C）$\displaystyle \frac{3}{16}+\frac{8}{15} \pi$ ．（D）$\displaystyle \frac{3}{16} \pi+\frac{8}{5} \pi$ ．

190 📝 有解析

### 第190题 190 设 $n, m$ 为正整数，$I_{n, m}=\int_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~d} x$ 是（A）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{n} n!}{(n+1)^{m}}$ ．（B）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ．（C）反常积分且发散．（D）反常积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． □

191 📝 有解析

### 第191题 191 设 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle x \cos x \ln |x|+x \cdot \frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．（B）$x \cos x \ln |x|+\sin x-\sin x \ln |x|+C$ ．（C） $\displaystyle \cos x \ln |x|-\frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．（D）以上均不正确． 192 $$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x} \int_{2 x}^{\ln x} \ln (1+t) \mathrm{d} t=$ $$

194 📝 有解析

### 第194题 194 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{4+x}, & x>0 \\ 0, & x=0, \\ \sqrt{1-x}, & x<0\end{array} \quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则（A）$F(x)$ 在 $x=0$ 点不连续．（B）$F(x)$ 在 $x=0$ 点不可导．（C）$F(x)$ 在 $x=0$ 点可导，$F^{\prime}(0)=f(0)$ ．（D）$F(x)$ 在 $x=0$ 点可导，但 $F^{\prime}(0) \neq f(0)$ ．

195 📝 有解析

### 第195题 195 下列叙述错误的是（A）设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续为奇函数，则 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上的全体原函数为偶函数．（B）设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续为偶函数，则 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上的全体原函数为奇函数．（C）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，以 $T$ 为周期且为奇函数，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 $T$ 为周期的函数．（D）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，以 $T$ 为周期，又 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 $T$ 为周期的函数．

196 📝 有解析

### 第196题 196 设 $f(x)$ 为以 $T$ 为周期的非零连续函数，$\Phi(x)=\int_{a}^{x}[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t, a$ 是常数，则（A）$\Phi(x)$ 是以 $T$ 为周期的偶函数．（B）$\Phi(x)$ 是以 $T$ 为周期的奇函数．（C）$\Phi(x)$ 是偶函数，但不一定以 $T$ 为周期．（D）$\Phi(x)$ 是奇函数，但不一定以 $T$ 为周期． 197函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$

198 📝 有解析

### 第198题 $\displaystyle 198 I=\int_{\pi}^{\frac{3}{2} \pi} \sin ^{2} \theta \cos ^{5} \theta \mathrm{~d} \theta=$ （A）$\displaystyle -\frac{8}{105}$ ．（B）$\displaystyle -\frac{4}{35}$ ．（C）$\displaystyle \frac{4}{35}$ ．（D）$\displaystyle \frac{2}{105}$ ．

199 📝 有解析

### 第199题 199 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.\right.$ ，则在区间 $(-1,1)$ 上（A）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数．（B）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数．（C）$f(x)$ 存在原函数，$g(x)$ 不存在原函数．（D）$f(x)$ 不存在原函数，$g(x)$ 存在原函数．

200 📝 有解析

### 第200题 200 数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+16}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n^{2}}}\right)=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln (\sqrt{5}-2)$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln (\sqrt{6}-2)$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln (\sqrt{5}+2)$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln (\sqrt{6}+2)$ ．

201 📝 有解析

### 第201题 201 数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=$ （A） 0 ．（B）不存在．（C）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ．

202 📝 有解析

### 第202题 202 下列反常积分发散的是（A） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ．（B） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．（C） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．（D） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

203 📝 有解析

### 第203题 203 下列四个反常积分（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ ．（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$ ．（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$ ．（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$ ．中，收敛的个数是（A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 4 ．

204 📝 有解析

### 第204题 204 设有下列命题（1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．（2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．（3） $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散，也可能收敛。（4）若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛．则以上命题中正确的个数是（A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 4 ．

205 📝 有解析

### 第205题 205 曲线 $\displaystyle y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=$ （A）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ．（B）$\displaystyle \frac{3}{5}$ ．（C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．

206 📝 有解析

### 第206题 206 由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 是（A） $\int_{0}^{1} \pi(1+\sqrt{1+y})^{2} \mathrm{~d} y$ ．（B） $\int_{0}^{1} \pi(1-\sqrt{1-y})^{2} \mathrm{~d} y$ ．（C） $\int_{0}^{1} \pi[(1+\sqrt{1-y})-(1-\sqrt{1-y})]^{2} \mathrm{~d} y$ ．（D） $\int_{0}^{1} \pi\left[(1+\sqrt{1-y})^{2}-(1-\sqrt{1-y})^{2}\right] \mathrm{d} y$.

207 📝 有解析

### 第207题 207 设 $\displaystyle a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=$ （A）$\displaystyle (1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}+1$ ．（B）$\displaystyle \left(1+\mathrm{e}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-1$ ．（C）$\displaystyle \left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$ ．（D）$\displaystyle (1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}-1$ ．

208 📝 有解析

### 第208题 208 设 $f(x)$ 为连续函数， $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1, F(t)=\int_{1}^{t}\left[f(y) \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y$ ，则 $F^{\prime}(2)=$ （A） $2 f(2)$ ．（B）$f(2)$ ．（C）$-f(2)$ ．（D） 0 ．

209 📝 有解析

### 第209题 209 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 可导且 $f^{\prime}(x)<0(x \in(0,1))$ ，则（A）当 $0\int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t$ ．（B）当 $0

210 📝 有解析

### 第210题 210 已知边际收益函数 $\displaystyle M R=\frac{a b}{(Q+b)^{2}}-k$ ，其中常数 $a>0, b>0, k>0$ ，则需求函数 $Q=Q(p)$ 的表达式为（A）$\displaystyle Q=\frac{a}{p+k}-b$ ．（B）$\displaystyle Q=\frac{b}{p+k}-a$ ．（C）$\displaystyle Q=\frac{k}{p+a}-b$ ．（D）$\displaystyle Q=\frac{k}{p+b}-a$ ．

211 📝 有解析

### 第211题 211 已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为（A）$y=C y_{1}(x)$ ．（B）$y=C y_{2}(x)$ ．（C）$y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$ ．（D）$y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$ ．

212 📝 有解析

### 第212题 212 设 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $$ $\begin{equation*}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 \tag{*}$ \end{equation*} $$ 有解 $y=y(x) \not \equiv 0$ 且以 $T$ 为周期的（A）必要非充分条件．（B）充分非必要条件．（C）充分且必要条件．（D）既不充分也不必要条件． □

213 📝 有解析

### 第213题 213 设 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$ （A）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 有关，与 $b, c$ 无关．（B）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 均无关。（C）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $c$ 无关，只与 $b$ 有关．（D）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b$ 无关，只与 $c$ 有关． □ 纽貄笔记

214 📝 有解析

### 第214题 214 已知 $y^{*}=\mathrm{e}^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=(c x+$ d） $\mathrm{e}^{x}$ 的一个解，则方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是（A）$a=1, b=-2, c=6, d=2$ ．（B）$a=1, b=2, c=6, d=-2$ ．（C）$a=1, b=-2, c=-6, d=2$ ．（D）$a=1, b=-2, c=6, d=-2$ ．

215 📝 有解析

### 第215题 215 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $$ x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^{3} $$ 则可得（A）$f(x)=C x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ，（ $C$ 为任意常数）．（B）$f(x)=x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ．（C）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}C x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array},(C\right.$ 为任意常数）．（D）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ．

216 📝 有解析

### 第216题 216 设 $L$ 是连接两点 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$ 的一条凸弧，$P(x$ ， $y)$ 是 $L$ 上的任意一点．已知凸弧 $L$ 与弦 $A P$ 围成的平面图形的面积等于 $x^{4}$ ，则 $L$ 的方程是（A） $1-3 x+4 x^{3}$ ．（B） $1-4 x+3 x^{3}$ ．（C） $1+3 x-4 x^{3}$ ．（D） $1+4 x-3 x^{3}$ ．

217 📝 有解析

### 第217题 217 设 $a, b, c$ 为待定常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=3 x-2 \mathrm{e}^{x}$ 的特解具有形式（A）$(a x+b) \mathrm{e}^{x}$ ．（B）$(a x+b) x \mathrm{e}^{x}$ ．（C）$(a x+b)+c \mathrm{e}^{x}$ ．（D）$(a x+b)+c x \mathrm{e}^{x}$ ．

218 📝 有解析

### 第218题 218 已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则此曲线的方程为（A）$y=\sin 2 x$ ．（B）$\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ．（C）$\displaystyle y=\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ．（D）$y=\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．

219 📝 有解析

### 第219题 219 设 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_{1}, C_{2}$是两个任意常数，则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是（A）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$ ．（B）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ．（C）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ．（D）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ．

220 📝 有解析

### 第220题 220 若 $A, B$ 为非零常数，$k$ 为常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x$ 的特解可能具有形式（A）$A \sin x+B \cos x$ ．（B）$A x \cos x$ ．（C）$A x \sin x$ ．（D）$A x \sin x+B x \cos x$ ．

221 📝 有解析

### 第221题 221 设 $A, B$ 都是不等于零的常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解（A）$y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．（B）$y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．（C）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ ．（D）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ． □

222 📝 有解析

### 第222题 222 在方程（1）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(\sin x) y+\mathrm{e}^{x}$ ，（2）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x \sin y+\mathrm{e}^{x}$ ，（3）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\sin x+\mathrm{e}^{y}$ ，（4）$\displaystyle x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\cos y+1$ ，中是线性微分方程是（A）（1）与（2）．（B）（2）与（3）．（C）（3）与（4）．（D）（4）与（1）．

223 📝 有解析

### 第223题 223 设 $f(x)$ 具有一阶连续导数，$f(0)=0, \mathrm{~d} u(x, y)=f(x) y \mathrm{~d} x+[\sin x-f(x)] \mathrm{d} y$ ，则 $f(x)$ 等于（A） $\cos x+\sin x-1$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\cos x+\sin x-\mathrm{e}^{-x}\right)$ ．（C） $\cos x-\sin x+x \mathrm{e}^{x}$ ．（D） $\cos x-\sin x+x \mathrm{e}^{-x}$ ．

224 📝 有解析

### 第224题 224 设微分方程 $\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}-2 x y=x$ 满足 $y(0)=1$ 的特解是 $y^{*}(x)$ ，则 $\int_{0}^{1} y^{*}(x) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{3}{2}$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（C）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ．（D）$\displaystyle -\frac{3}{2}$ ．

225 📝 有解析

### 第225题 225 设函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x)=\cos 2 x-4 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$ （A） $\cos 2 x-x \sin 2 x$ ．（B） $\cos 2 x+x \sin 2 x$ ．（C） $\sin 2 x-x \cos 2 x$ ．（D） $\sin 2 x+x \cos 2 x$ ．

226 📝 有解析

### 第226题 226 二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处（A）不连续．（B）连续且 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在．（C）连续且 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在．（D）可微．

227 📝 有解析

### 第227题 227 二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处（A）连续．（B）不连续且 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在．（C）不连续且 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在．（D）不可微． □

228 📝 有解析

### 第228题 228 极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ （A）不存在．（B）等于 1 ．（C）等于 0 ．（D）等于 2 ．

230 📝 有解析

### 第230题 230 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处（A）两个偏导数都不存在．（B）两个偏导数都存在但不可微．（C）偏导数连续．（D）可微但偏导数不连续． □

231 📝 有解析

### 第231题 231 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处（A）不连续．（B）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在．（C）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微．（D）全微分存在但一阶偏导数 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续． 232 设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y, & x y \neq 0, \\ 1, & x y=0,\end{array}\right.$ 则下列命题成立的个数为

233 📝 有解析

### 第233题 233 已知函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某邻域内有定义，则 $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0), ~ \lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0$ ， $y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的（A）充分条件但非必要条件．（B）必要条件但非充分条件．（C）充分必要条件．（D）既非必要也非充分条件．

234 📝 有解析

### 第234题 234 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处（A）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在．（B）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微．（C）可微但 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续．（D）可微且 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 连续．

235 📝 有解析

### 第235题 235 设 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处（A）不连续．（B）连续但两个偏导数不存在．（C）两个偏导数存在但不可微。（D）可微． 236设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处

237 📝 有解析

### 第237题 237 函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是（A） $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．（B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ．（C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在．（D） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．

238 📝 有解析

### 第238题 238 如果 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是（A）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．（B）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．（C）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在．（D）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在．

239 📝 有解析

### 第239题 239 设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则（A）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．（B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在．（C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．（D）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．

240 📝 有解析

### 第240题 240 函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $f(x, y)$ 在该点处可微的（A）充分但非必要条件．（B）必要但非充分条件．（C）充分必要条件．（D）既不充分也不必要条件．

241 📝 有解析

### 第241题 241 设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意 $x, y$ 都有 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$ ，则使不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)x_{2}, y_{1}x_{2}, y_{1}>y_{2}$ ．（C）$x_{1}y_{2}$ ．

242 📝 有解析

### 第242题 242 设可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>1, \frac{\partial f}{\partial y}<-1, f(0,0)=0$ ，则下列结论正确的是（A）$f(1,1)>1$ ．（B）$f(-1,1)>-2$ ．（C）$f(-1,-1)<0$ ．（D）$f(1,-1)>2$ ．

243 📝 有解析

### 第243题 243 已知 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则（A）$f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)=1$ ．（B）$f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)=0$ ．（C）$f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)=1$ ．（D）$f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)=-1$ ．

244 📝 有解析

### 第244题 244 设函数 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} f\left(\frac{y}{x}\right)$ ，且 $f(u)$ 可导，若 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2 y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，则（A）$f(1)=1, f^{\prime}(1)=0$ ．（B）$f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ．（C）$f(1)=0, f^{\prime}(1)=0$ ．（D）$f(1)=1, f^{\prime}(1)=1$ ．

245 📝 有解析

### 第245题 245 设函数 $f(x, y)$ 可微且 $f[x+1, \ln (1+x)]=(1+x)^{3}+x \ln (1+x)(x+1)^{\ln (x+1)}$ ， $f\left(x^{2}, x-1\right)=x^{4} \mathrm{e}^{x-1}+(x-1)\left(x^{2}-1\right) x^{2(x-1)}$ ，则 $\mathrm{d} f(1,0)=$ （A） $\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ ．（B） $\mathrm{d} x-2 \mathrm{~d} y$ ．（C） $\mathrm{d} x-\mathrm{d} y$ ．（D） $2 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$ ．

246 📝 有解析

### 第246题 246 已知 $\mathrm{d} f(x, y)=\left(2 y^{2}+2 x y+3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(4 x y+x^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，则 $f(x, y)=$ （A） $2 x y^{2}+x^{2} y$ ．（B） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}$ ．（C） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．（D） $3 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．

247 📝 有解析

### 第247题 247 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-2$ ，则（A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在．（B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在但不为零．（C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极大值．（D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极小值．

248 📝 有解析

### 第248题 248 下列命题正确的是（A）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的极值点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的驻点．（B）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的驻点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的极值点．（C）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为有界闭区域 $D$ 上连续的函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内部唯一的极值点，且 $f(x, y)$在该点取极大值，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得它在 $D$ 上的最大值．（D）若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得极小值，则 $f\left(x, y_{0}\right)$ 在 $x=x_{0}$ 处取极小值，$f\left(x_{0}, y\right)$ 在 $y=y_{0}$ 处取极小值．

249 📝 有解析

### 第249题 249 设 $F(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．若一元函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x, y)=0$ 所确定的在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 附近的隐函数，则 $x_{0}$ 是函数 $y=y(x)$ 的极小值点的一个充分条件是（A）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．（B）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ．（C）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．（D）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ．

250 📝 有解析

### 第250题 250 函数 $f(x, y)=k x^{2}+y^{3}-3 y$ 在点 $(0,1)$ 处（A）取极大值．（B）取极小值．（C）不取得极值．（D）是否取得极值与 $k$ 的取值有关．

251 📝 有解析

### 第251题 251 函数 $f(x, y)=1+x+y$ 在区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积为（A）-1 ．（B） 1 ．（C） $1+\sqrt{2}$ ．（D） $1-\sqrt{2}$ ．

252 📝 有解析

### 第252题 252 函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-x y}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值是（A） $\mathrm{e}^{2}$ ．（B）$e$ ．（C） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$ ．（D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ ． 253设 $f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}$ ，区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 4,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则下面结论正确的是

254 📝 有解析

### 第254题 254 已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+4 x^{2}-y^{2}}{x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}}=1$ ，则（A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点．（B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点．（C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点．（D）所给条件不足以判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．纠锱笔记

255 📝 有解析

### 第255题 255 设有三个正数 $x, y, z$ 满足 $x+y+z=a$ ，其中 $a>0$ 为常数，又 $x y z \leqslant b$ ，则 $b$ 的最小取值是（A）$\displaystyle \frac{a^{3}}{21}$ ．（B）$\displaystyle \frac{a^{3}}{18}$ ．（C）$\displaystyle \frac{a^{3}}{9}$ ．（D）$\displaystyle \frac{a^{3}}{27}$ ．

256 📝 有解析

### 第256题 256 设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ 等于（A） $2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{~d} \sigma$ ．（B） $2 \iint_{D_{1}} x y \mathrm{~d} \sigma$ ．（C） $4 \iint_{D_{1}}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ ．（D） 0 ．

257 📝 有解析

### 第257题 257 累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 可写成（A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．（C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（D） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．

258 📝 有解析

### 第258题 258 设 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则在极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$可化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分（A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．（C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 可写成

260 📝 有解析

### 第260题 260 累次积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}-1)$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}+1)$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$ ．

261 📝 有解析

### 第261题 261 设区域 $D$ 由 $y=x, y=x+1, y=1, y=3$ 围成，则 $\iint_{D} y \mathrm{~d} \sigma=$ （A） 2 ．（B） 3 ．（C） 4 ．（D） 6 ．

262 📝 有解析

### 第262题 262 设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ （A） $6 \pi$ ．（B） $8 \pi$ ．（C） $10 \pi$ ．（D） $12 \pi$ ．

263 📝 有解析

### 第263题 263 设积分区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{\mathrm{~d} \sigma}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．（B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．（C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．（D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．

264 📝 有解析

### 第264题 264 设积分区域 $D=\left\{(x, y)| | x\left|\leqslant 1,|y| \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \geqslant x\right\}\right.$ ，则 $\iint_{D}|x y| \mathrm{d} \sigma=$ （A）$\displaystyle \frac{5}{6}$ ．（B）$\displaystyle \frac{11}{12}$ ．（C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．（D）$\displaystyle \frac{7}{8}$ ． 265 设积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$ ，直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$

266 📝 有解析

### 第266题 266 设积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma=$ （A）$\pi$ ．（B）$-\pi$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ．（D）$\displaystyle -\frac{1}{\pi}$ ． 267设积分区域 $D=\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1\}$ ，则 $I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$

268 📝 有解析

### 第268题 268 设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 9, x \leqslant \sqrt{3} y, y \leqslant \sqrt{3} x\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．（B）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}$ ．（C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{3}$ ． 269 累次积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x$ 等于

270 📝 有解析

### 第270题 270 设平面域 $D$ 由 $\displaystyle x+y=\frac{1}{2}, x+y=1$ 及两条坐标轴围成，$I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sin (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则（A）$I_{1}

271 📝 有解析

### 第271题 271 设积分区域 $$ $\begin{gathered}$ D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} \\ D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\} ; D_{4}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{1}{2} y^{2} \leqslant 1\right.\right\} \end{gathered} $$ 记 $\displaystyle I_{i}=\iint_{D_{i}}\left[1-\left(x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)\right] \mathrm{d} \sigma(i=1,2,3,4)$ ，则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=$ （A）$I_{1}$ ．（B）$I_{2}$ ．（C）$I_{3}$ ．（D）$I_{4}$ ． 272已知平面域 $\displaystyle D=\left\{(x, y)| | x\left|+|y| \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}\right.$ ，记 $I_{1}=\iint_{D}\left(2 x^{2}+\tan x y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}\left(x^{2} y+2 \tan y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D}\left(|x y|+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，则

273 📝 有解析

### 第273题 273 设 $g(x)$ 有连续的导数，$g(0)=0, g^{\prime}(0)=a \neq 0, f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，则 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=$ （A）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{a}$ ．（B）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{2 a}$ ．（C）$\displaystyle \frac{\pi}{a} f(0,0)$ ．（D）$\displaystyle \frac{\pi}{2 a} f(0,0)$ ．

274 📝 有解析

### 第274题 274 设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围成的区域，则 $f(x, y)$ 等于（A）$x y$ ．（B） $2 x y$ ．（C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ．（D）$x y+1$ ．

275 📝 有解析

### 第275题 275 设 $g(x)$ 是可微函数 $y=f(x)$ 的反函数，且 $f(1)=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1012$ ，则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t$ 的值为（A） 2022 ．（B） 2023. （C） 2024 ．（D） 2025 ．

616 📝 有解析

### 第616题 616 设函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f^{2}(x)}, x \in(-\infty,+\infty)$ ，则 $f(x)$ 的周期为（A）1．（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．

617 📝 有解析

### 第617题 617 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+x, & x>0\end{array}\right.$ ，则 $f(-x)=$ （A）$\left\{\begin{array}{cc}-x^{2}, & x \leqslant 0 \\ -\left(x^{2}+x\right), & x>0\end{array}\right.$ ．（B）$\left\{\begin{array}{cc}-\left(x^{2}+x\right), & x<0 \\ -x^{2}, & x \geqslant 0\end{array}\right.$ ．（C）$\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}-x, & x>0\end{array}\right.$ ．（D）$\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-x, & x<0 \\ x^{2}, & x \geqslant 0\end{array}\right.$ ．

618 📝 有解析

### 第618题 $\displaystyle 618 \lim _{x \rightarrow 1}\left(1-x^{2}\right) \tan \frac{\pi}{2} x=$ （A） 1 ．（B）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ．（C）$\displaystyle \frac{4}{\pi}$ ．（D）$\displaystyle \frac{6}{\pi}$ ．

619 📝 有解析

### 第619题 619 下列命题（1）设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{f(x)}=0$ ．（2）设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{f(x)}=\infty$ ．（3）设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=+\infty$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}}(f(x)-g(x))=0$ ．（4）设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=+\infty$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}}(f(x)+g(x))=+\infty$ ．（A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 4 ．

620 📝 有解析

### 第620题 620 设 $f(x)=\arctan x$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(x)=$ （A）$\displaystyle \frac{2\left(3 x^{2}+1\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}$ ．（B）$\displaystyle \frac{2\left(3 x^{2}-1\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$ ．（C）$\displaystyle \frac{3 x^{2}+1}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}$ ．（D）$\displaystyle \frac{2\left(3 x^{2}-1\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}$ ．

621 📝 有解析

### 第621题 621 当 $x \rightarrow 0$ 时，下述一些无穷小与 $x^{3}$ 为同阶无穷小的是（A）$\alpha(x)=x^{3}+x^{2}$ ．（B）$\displaystyle \beta(x)=\frac{1-\cos x}{x}$ ．（C）$\gamma(x)=\int_{0}^{\ln (1+x)}\left(\mathrm{e}^{t^{2}}-1\right) \mathrm{d} t$ ．（D）$\delta(x)=(1+\sin x)^{\ln (1+x)}-1$ ．

622 📝 有解析

### 第622题 $\displaystyle 622 \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2} \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-\frac{n^{3}}{n-1}\right)=$ （A） 2 ．（B）-2 ．（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（D）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ．

623 📝 有解析

### 第623题 623 设 $u_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 并设数列 $\left\{u_{n}\right\}$ 无上界，则（A）数列 $\displaystyle \left\{\frac{1}{u_{n}}\right\}$ 必有上界．（B）必有 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ．（C）对于任意给定的 $M>0$ ，满足 $u_{n}0$ ，满足 $u_{n}>M$ 的 $n$ 总有无限个．

624 📝 有解析

### 第624题 624 将 $x \rightarrow 0^{+}$时的三个无穷小量 $\alpha=\int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t, \beta=\int_{0}^{x^{2}} \sin \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\sqrt{1-x^{2}}-1$ 排列起来，使得排在后面一个是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A）$\alpha, \beta, \gamma$ ．（B）$\alpha, \gamma, \beta$ ．（C）$\beta, \alpha, \gamma$ ．（D）$\beta, \gamma, \alpha$ ．

625 📝 有解析

### 第625题 625 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\left(\frac{1+a x}{1-a x}\right)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\ \mathrm{e}, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $a=$ （A）1．（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（C） 2 ．（D） e ．

626 📝 有解析

### 第626题 626 函数 $f(x)=\left(x^{2}+x-2\right)\left|x^{3}-4 x\right| \cdot \sin |x|$ 的不可导点为 $x=$ （A）-2 ．（B） 0 ．（C） 1 ．（D） 2 ．

627 📝 有解析

### 第627题 627 设 $f(x)$ 对任意 $x$ 均满足 $f(1+x)=a f(x)$ ，且 $f^{\prime}(0)=b$ ，其中 $a$ 与 $b$ 都是常数，则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处（A）不可导．（B）可导，$f^{\prime}(1)=a$ ．（C）可导，$f^{\prime}(1)=b$ ．（D）可导，$f^{\prime}(1)=a b$ ．

628 📝 有解析

### 第628题 628 设 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶导数连续，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=2, g^{\prime \prime}(0)=1$ ，且设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{2 x}}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（A）不连续．（B）连续但不可导．（C）可导但导函数不连续．（D）导函数连续．

629 📝 有解析

### 第629题 629 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，并且 $|f(x)| \leqslant 1-\sqrt{1-x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 在 $x=$ 0 处（A）不连续．（B）连续而不可导．（C）可导但 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ．（D）$f^{\prime}(0)=0$ ．

630 📝 有解析

### 第630题 630 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在二阶导数，且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x f^{\prime}(x)}=$ （A） 1 ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．

631 📝 有解析

### 第631题 631 已知方程 $y^{\prime \prime}+q y=0$ 存在当 $x \rightarrow+\infty$ 时趋于零的非零解，则（A）$q>0$ ．（B）$q \geqslant 0$ ．（C）$q<0$ ．（D）$q \leqslant 0$ ． 632 设 $C_{1}, C_{2}$ 是两个任意常数，则函数 $y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}-2 x \mathrm{e}^{-x}$ 满足的一个微分方程是

633 📝 有解析

### 第633题 633 某商品的需求价格弹性为 $-P(\ln P+1), P$ 为价格，当 $P=1$ 时需求量 $Q(P)=1$ ，则该商品的需求函数 $Q(P)=$ （A）$\displaystyle P^{-\frac{1}{2} P}$ ．（B）$\displaystyle P^{-\frac{1}{3} P}$ ．（C）$P^{-P}$ ．（D）$P^{-2 P}$ ．

634 📝 有解析

### 第634题 634 设 $A, B, C$ 为待定常数，则差分方程 $y_{t+1}-y_{t}=t^{2}-1$ 的特解具有形式（A） $\bar{y}(t)=A t^{2}+B$ ．（B） $\bar{y}(t)=A t^{3}+B t^{2}+C t$ ．（C） $\bar{y}(t)=A t^{3}+B t^{2}$ ．（D） $\bar{y}(t)=A t^{2}+B t+C$ ．

635 📝 有解析

### 第635题 635 差分方程 $\displaystyle y_{t+1}-2 y_{t}=5 \sin \frac{\pi}{2} t$ 的一个特解是（A） $\displaystyle \bar{y}(t)=2 \sin \frac{\pi}{2} t+\cos \frac{\pi}{2} t$ ．（B） $\displaystyle \bar{y}(t)=2 \sin \frac{\pi}{2} t-\cos \frac{\pi}{2} t$ ．（C） $\displaystyle \bar{y}(t)=-2 \sin \frac{\pi}{2} t-\cos \frac{\pi}{2} t$ ．（D） $\displaystyle \bar{y}(t)=-2 \sin \frac{\pi}{2} t+\cos \frac{\pi}{2} t$ ．纠钱笔记

636 📝 有解析

### 第636题 636 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则（A）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都收敛。（B）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都发散。（C）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 发散。（D）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 发散而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛。

637 📝 有解析

### 第637题 637 在关于级数的如下四个结论中正确的结论是（A）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)^{2}$ 收敛。（B）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n} v_{n}\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛。（C）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle u_{n} \geqslant \frac{1}{n}$ ．（D）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，且 $u_{n} \geqslant v_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 也收敛。

638 📝 有解析

### 第638题 638 现有关于级数的如下四个结论：（1）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．（2）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．（3）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。（4）设 $a_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ 且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 存在，又 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．其中正确的是（A）（1），（2）．（B）（1），（3）．（C）（3），（4）．（D）

641 📝 有解析

### 第641题 641 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均发散，则（A）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)$ 发散．（B）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 发散．（C）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_{n}\right|+\left|b_{n}\right|\right)$ 发散。（D）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ 发散。

642 📝 有解析

### 第642题 642 在命题（1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。（2）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $n \rightarrow \infty$ 时 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 是等价无穷小，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛。（3）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)(n \rightarrow \infty)$ 。（4）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，又 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛。中正确的是（A）（1）．（B）（2）．（C）（3）．（D）（4）．

643 📝 有解析

### 第643题 643 设正项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$b_{n}=(-1)^{n} \ln \left(1+a_{2 n}\right)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ （A）条件收敛．（B）绝对收敛．（C）发散．（D）不能确定敛散性． 644设 $a>0$ 为常数，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^{n}}{1+a^{n}}$ 条件收敛，则 $a$ 的取值范围是

647 📝 有解析

### 第647题 647 在如下四个级数（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n}$ ．（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(\sin n^{2}\right) \ln ^{3} n}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}$ ．（3）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}$ ．（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$ ．中，条件收敛的级数是（A）（1），（2）．（B）（2），（3）．（C）（3），（4）．（D）（1），（4）．

648 📝 有解析

### 第648题 648 下列四个级数中，发散的级数是（A）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln \ln n}}$ ．（B）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{2^{n}}$ ．（C）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{\alpha} n(\ln \ln n)^{\beta}}$（其中 $\alpha>1, \beta>0$ ）．（D）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sin \left[\left(n+\frac{1}{\ln n}\right) \pi\right]$ ．纠䦃笔记

649 📝 有解析

### 第649题 649 设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是（A）$p>1$ ．（B）$p>2$ ．（C） $0\frac{1}{2}$ ．

650 📝 有解析

### 第650题 650 设 $f(x)$ 有连续的一阶导数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ （A）发散．（B）绝对收敛．（C）条件收敛．（D）敛散性与 $a$ 有关．

651 📝 有解析

### 第651题 651 若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域是 $(-8,8]$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{n(n-1)}$ 的收敛半径及 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{3 n}$ 的收敛域分别是（A） $8,(-2,2]$ ．（B） $8,[-2,2]$ ．（C） $4,(-2,2]$ ．（D） $8,[-2,2)$ ．

652 📝 有解析

### 第652题 652 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n}}$ 的和 $S=$ （A）$\displaystyle \frac{3}{32}$ ．（B）$\displaystyle \frac{3}{16}$ ．（C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ．（D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．

653 📝 有解析

### 第653题 653 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ 的和函数 $S(x)=$ （A） $\displaystyle \ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1 \leqslant x<1, x \neq 0)$ ．（B） $\displaystyle \ln (1+x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1

654 📝 有解析

### 第654题 654 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处六阶导数 $f^{(6)}(0)$ （A）不存在．（B）等于 $\displaystyle -\frac{1}{6}$ ．（C）等于 $\displaystyle \frac{1}{56}$ ．（D）等于 $\displaystyle -\frac{1}{56}$ ．

655 📝 有解析

### 第655题 655 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3^{-\ln n}$ 收敛，则必有（A）$\alpha>\ln 3$ ．（B）$\alpha \neq 1$ ．（C）$\displaystyle \alpha>\frac{1}{\ln 3}$ ．（D）$\alpha<\ln 3$ ．

656 📝 有解析

### 第656题 656 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-a)^{n}}{n}$ 在 $x>0$ 处发散，在 $x=0$ 处收敛，则常数 $a$ 等于（A） 0 ．（B）-1 ．（C） 1 ．（D） 2 ．

657 📝 有解析

### 第657题 657 设常数 $\alpha>0, \beta>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\beta^{n}}{n^{\alpha}}$ 的收敛性（A）既与 $\alpha$ 又与 $\beta$ 的取值有关．（B）仅与 $\alpha$ 的取值有关．（C）仅与 $\beta$ 的取值有关．（D）与 $\alpha$ 及 $\beta$ 的取值都无关．

658 📝 有解析

### 第658题 658 设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{4}\right)^{n} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n a_{n}$ 是（A）绝对收敛．（B）条件收敛．（C）发散．（D）收敛与否与 $a_{n}$ 有关．

659 📝 有解析

### 第659题 659 下列命题成立的是（A）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛时 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。（B）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\infty$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散时 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散．（C）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 中至少有一个发散．（D）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 中至少有一个收敛。