kaoyan3basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 第10题 $\displaystyle 10 \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(2^{\frac{1}{x}}-2^{\frac{1}{x+1}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\ln 2$
**解析**： 步骤1：令 $ t = \frac{1}{x} $，则当 $ x \to +\infty $ 时，$ t \to 0^+ $，且 $ \frac{1}{x+1} = \frac{t}{1+t} $。原极限化为： $$ \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t^2} \left( 2^t - 2^{\frac{t}{1+t}} \right). $$
步骤2：提取公因式 $ 2^{\frac{t}{1+t}} $，并利用等价无穷小 $ 2^u - 1 \sim u \ln 2 $（当 $ u \to 0 $）： $$ 2^t - 2^{\frac{t}{1+t}} = 2^{\frac{t}{1+t}} \left( 2^{t - \frac{t}{1+t}} - 1 \right) = 2^{\frac{t}{1+t}} \left( 2^{\frac{t^2}{1+t}} - 1 \right) \sim 1 \cdot \frac{t^2}{1+t} \ln 2 \quad (t \to 0). $$
步骤3：代入极限： $$ \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t^2} \cdot \frac{t^2}{1+t} \ln 2 = \ln 2 \cdot \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{1+t} = \ln 2. $$
**难度**：★★☆☆☆