kaoyan3basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 第11题 11 设 $\alpha>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}=$ $\_\_\_\_$ ．
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11 设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2}\right\}$ ，则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：考虑极限$\lim_{x\to0^+}(x^2+x)^{x^\alpha}=e^{\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln(x^2+x)}$。 步骤2：$\ln(x^2+x)\sim\ln x$，则指数部分$\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x=0$（$\alpha>0$）。 步骤3：原极限$=e^0=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原极限转化为指数形式
由于底数趋于0，指数趋于0，属于1^∞型未定式，取对数后化为e^{lim x^α ln(x^2+x)}。
公式：\lim_{x\to0^+}(x^2+x)^{x^\alpha}=e^{\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln(x^2+x)}
提示：注意底数x^2+x>0，可直接取对数。
步骤 2/4
目标：简化对数部分
当x→0+时，x^2+x ~ x，因此ln(x^2+x) ~ ln x。
公式：\ln(x^2+x)\sim\ln x\ (x\to0^+)
提示：等价无穷小替换时注意ln(x^2+x)与ln x的差是ln(1+x)~x，但此处只需主部。
步骤 3/4
目标：计算指数部分的极限
计算lim_{x→0+} x^α ln x。由于α>0，x^α→0，ln x→-∞，但x^α ln x→0（幂函数比对数函数更快）。
公式：\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x=0\ (\alpha>0)
提示：可用洛必达法则或已知结论：x^ε ln x→0 (ε>0)。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
原极限 = e^0 = 1。
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