kaoyan3basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 第12题 12 数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：利用拉格朗日中值定理，$\displaystyle \arctan\frac{2}{n}-\arctan\frac{2}{n+1}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$乘以某导数，或直接使用等价无穷小。 步骤2：原式$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}n^2\left(\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}\right)=\lim_{n\to\infty}n^2\cdot\frac{2}{n(n+1)}=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：化简极限表达式
利用拉格朗日中值定理或等价无穷小，将差形式转化为乘积形式。由于当x→0时，arctan x ~ x，且2/n和2/(n+1)都趋于0，因此有：arctan(2/n) - arctan(2/(n+1)) ~ 2/n - 2/(n+1)。
公式：arctan x ~ x (x→0)
提示：注意等价无穷小替换的条件：被替换的量在极限过程中趋于0。
步骤 2/2
目标：计算化简后的极限
将等价无穷小代入原式：I = lim_{n→∞} n^2 * (2/n - 2/(n+1)) = lim_{n→∞} n^2 * (2/(n(n+1))) = lim_{n→∞} 2n^2/(n^2+n) = lim_{n→∞} 2/(1+1/n) = 2。
公式：2/n - 2/(n+1) = 2/(n(n+1))
提示：化简时注意通分，然后分子分母同除以n^2。
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