kaoyan3basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 第15题 15 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-x)+x f(x)}{x^{2}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：将$\ln(1-x)$展开为$\displaystyle -x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，代入得$\displaystyle \frac{-x-\frac{x^2}{2}+xf(x)}{x^2}=0$。 步骤2：分子中$x$项系数为$f(0)-1$，由极限为0得$f(0)=1$，进一步得$\displaystyle \frac{f(x)-1}{x}=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将ln(1-x)泰勒展开
将ln(1-x)在x=0处展开为-x - x^2/2 + o(x^2)，代入原极限表达式。
公式：ln(1-x) = -x - x^2/2 + o(x^2)
提示：注意展开到二阶，因为分母是x^2。
步骤 2/4
目标：代入并整理分子
代入后分子为 -x - x^2/2 + x f(x) + o(x^2)，除以x^2得极限为0。
公式：lim_{x→0} [ -x - x^2/2 + x f(x) + o(x^2) ] / x^2 = 0
提示：将分子按x的幂次分组。
步骤 3/4
目标：确定f(0)的值
由于极限为0，分子中x的系数必须为0，即f(0)-1=0，所以f(0)=1。
公式：f(0) = 1
提示：x项系数来自-x和x f(x)中的x f(0)。
步骤 4/4
目标：计算所求极限
将f(x)在x=0处泰勒展开为f(0)+f'(0)x+o(x)=1+f'(0)x+o(x)，代入所求极限得lim_{x→0} (f'(0)x+o(x))/x = f'(0)。由原极限得f'(0)=1/2。
公式：lim_{x→0} (f(x)-1)/x = f'(0) = 1/2
提示：利用原极限中x^2项系数为零得到f'(0)。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。