kaoyan3basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 第16题 16 设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，且 $f(1)=1$ 则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]=$ $\_\_\_\_$。 जैदिल्ली
💡 答案解析
**答案**：$\ln 3$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}=1$，由连续性得$f(1)=1$。 步骤2：原极限$=\ln(2+1)=\ln3$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算内层极限
求极限 $\lim_{x\to +\infty} x^{\frac{1}{x}}$。利用取对数法：$\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$，所以 $\lim_{x\to +\infty} x^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1$。
公式：$\lim_{x\to +\infty} x^{\frac{1}{x}} = 1$
提示：常用极限：$\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$
步骤 2/3
目标：利用连续性代入
由于 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，且 $f(1)=1$，所以 $\lim_{x\to +\infty} f\left(x^{\frac{1}{x}}\right) = f(1) = 1$。
公式：$\lim_{x\to +\infty} f\left(x^{\frac{1}{x}}\right) = f(1) = 1$
提示：复合函数极限：外层连续时，极限符号可进入函数内部
步骤 3/3
目标：计算原极限
原极限 $\lim_{x\to +\infty} \ln\left[2 + f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right] = \ln(2+1) = \ln 3$。
公式：$\ln(2+1) = \ln 3$
提示：对数函数连续，可直接代入
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