kaoyan3basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 第17题 17 设 $a, b$ 为常数，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}-b\right)=0$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=-1$，$b=0$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \sqrt[3]{1-x^6}=-x^2\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^6}}=-x^2\left(1-\frac{1}{3x^6}+o\left(\frac{1}{x^6}\right)\right)$。 步骤2：代入得$\displaystyle -x^2+\frac{1}{3x^4}-ax^2-b$，令极限为0得$-1-a=0$且$b=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将根式展开为泰勒级数
将 $\sqrt[3]{1-x^6}$ 改写为 $-x^2 \sqrt[3]{1-\frac{1}{x^6}}$，然后利用 $(1+u)^{1/3}=1+\frac{1}{3}u+o(u)$ 展开，其中 $u=-\frac{1}{x^6}$，得到 $\sqrt[3]{1-x^6} = -x^2\left(1-\frac{1}{3x^6}+o\left(\frac{1}{x^6}\right)\right) = -x^2+\frac{1}{3x^4}+o\left(\frac{1}{x^4}\right)$。
公式：$(1+u)^{\alpha}=1+\alpha u+o(u)$
提示：注意 $x\to\infty$ 时，$\frac{1}{x^6}\to 0$，所以可以展开。
步骤 2/3
目标：代入极限表达式并整理
将展开式代入极限：$\lim_{x\to\infty}\left(-x^2+\frac{1}{3x^4}+o\left(\frac{1}{x^4}\right)-ax^2-b\right) = \lim_{x\to\infty}\left[(-1-a)x^2 + \left(\frac{1}{3x^4}-b\right) + o\left(\frac{1}{x^4}\right)\right]$。
提示：合并同类项，注意 $x^2$ 项和常数项。
步骤 3/3
目标：令极限为0，确定参数
由于极限为0，$x^2$ 项的系数必须为0，即 $-1-a=0$，解得 $a=-1$。常数项必须为0，即 $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{3x^4}-b\right) = -b = 0$，所以 $b=0$。
提示：注意 $\frac{1}{3x^4}\to 0$，所以常数项极限为 $-b$。
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