kaoyan3basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 第9题 $\displaystyle 9 I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：令$u=xt$，则积分化为$\displaystyle \int_{x^3}^{x^2}\frac{\sin u}{u}du$。 步骤2：利用洛必达法则，分子求导得$\displaystyle \frac{\sin(x^2)}{x^2}\cdot2x-\frac{\sin(x^3)}{x^3}\cdot3x^2$，分母求导得$2x$。 步骤3：化简得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2\frac{\sin x^2}{x^2}-3\frac{\sin x^3}{x^3}}{2}=\frac{2-3}{2}=-\frac{1}{2}$，乘以系数9得$\displaystyle -\frac{9}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简积分表达式
令 u = x t，则 t = u/x，dt = du/x，积分限：当 t = x^2 时 u = x^3，当 t = x 时 u = x^2，原积分化为 ∫_{x^3}^{x^2} (sin u / u) du。
公式：∫_{x^2}^{x} sin(xt)/t dt = ∫_{x^3}^{x^2} sin u / u du
提示：换元时注意积分限的变化。
步骤 2/4
目标：应用洛必达法则
原极限为 0/0 型，使用洛必达法则。分子求导：d/dx ∫_{x^3}^{x^2} sin u / u du = sin(x^2)/x^2 * 2x - sin(x^3)/x^3 * 3x^2；分母求导：d/dx x^2 = 2x。
公式：d/dx ∫_{a(x)}^{b(x)} f(u) du = f(b(x)) b'(x) - f(a(x)) a'(x)
提示：注意上下限都是 x 的函数，求导时使用莱布尼茨公式。
步骤 3/4
目标：化简极限表达式
代入后极限为 lim_{x→0} [ (sin(x^2)/x^2 * 2x - sin(x^3)/x^3 * 3x^2) / (2x) ] = lim_{x→0} [ (2 sin(x^2)/x^2 - 3 sin(x^3)/x^3) / 2 ]。
公式：lim_{x→0} sin(x^2)/x^2 = 1, lim_{x→0} sin(x^3)/x^3 = 1
提示：利用重要极限 sin u / u → 1 (u→0)。
步骤 4/4
目标：计算极限值
代入极限得 (2*1 - 3*1)/2 = -1/2，再乘以系数 9 得 9 * (-1/2) = -9/2。
公式：9 * (-1/2) = -9/2
提示：注意原题中 I 前面有系数 9。
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