kaoyan3basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 第8题 $\displaystyle 8 I=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{x^{2}}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$e$
**解析**： 步骤1：考虑极限 $I = \lim_{x \to \infty} \left( e^{x^2} + x^3 \right)^{\frac{1}{x^2}}$，当 $x \to \infty$ 时，$e^{x^2}$ 远大于 $x^3$，因此提取公因式 $e^{x^2}$： $$ \left( e^{x^2} + x^3 \right)^{\frac{1}{x^2}} = e \cdot \left( 1 + \frac{x^3}{e^{x^2}} \right)^{\frac{1}{x^2}}. $$
步骤2：计算 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^{x^2}} = 0$，且 $\frac{1}{x^2} \to 0$，故 $\left( 1 + \frac{x^3}{e^{x^2}} \right)^{\frac{1}{x^2}} \to 1^0 = 1$。
步骤3：因此极限为 $e \cdot 1 = e$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简表达式，提取公因式
当 x → ∞ 时，e^{x^2} 远大于 x^3，因此提取 e^{x^2}：
(e^{x^2} + x^3)^{1/x^2} = e * (1 + x^3/e^{x^2})^{1/x^2}
公式：(e^{x^2} + x^3)^{1/x^2} = e * (1 + x^3/e^{x^2})^{1/x^2}
提示：注意指数运算： (e^{x^2})^{1/x^2} = e
步骤 2/3
目标：计算极限
计算 lim_{x→∞} x^3/e^{x^2} = 0，且 1/x^2 → 0，因此 (1 + x^3/e^{x^2})^{1/x^2} → 1^0 = 1
公式：lim_{x→∞} (1 + x^3/e^{x^2})^{1/x^2} = 1
提示：利用指数函数的增长速度远大于幂函数
步骤 3/3
目标：得出最终结果
原极限 = e * 1 = e
公式：I = e
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