kaoyan3basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 第7题 $\displaystyle 7 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{\sin ^{2} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{8}$ **解析**： 步骤1：利用等价无穷小，$\sin x^2 \sim x^2$，分母化为$x^4$。 步骤2：将分子中的$\sqrt{\cos x}$和$\sqrt[3]{\cos x}$展开：$\displaystyle \sqrt{\cos x}=1-\frac{x^2}{4}+o(x^2)$，$\displaystyle \sqrt[3]{\cos x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)$，则分子为$\displaystyle \left(\frac{x^2}{4}\right)\left(\frac{x^2}{6}\right)=\frac{x^4}{24}$。 步骤3：原极限$\displaystyle =7\lim_{x\to0}\frac{x^4/24}{x^4}=\frac{7}{24}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简分母
利用等价无穷小，当 $x \to 0$ 时，$\sin x^2 \sim x^2$，所以分母 $\sin^2 x^2 \sim (x^2)^2 = x^4$。
公式：$\sin x^2 \sim x^2$
提示：注意 $\sin x^2$ 的变量是 $x^2$，等价无穷小替换时需整体替换。
步骤 2/3
目标：展开分子中的根式
将 $\sqrt{\cos x}$ 和 $\sqrt[3]{\cos x}$ 在 $x=0$ 处泰勒展开：$\sqrt{\cos x} = 1 - \frac{x^2}{4} + o(x^2)$，$\sqrt[3]{\cos x} = 1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)$。则分子 $(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x}) \sim \left(\frac{x^2}{4}\right)\left(\frac{x^2}{6}\right) = \frac{x^4}{24}$。
公式：$\sqrt{\cos x} = 1 - \frac{x^2}{4} + o(x^2)$，$\sqrt[3]{\cos x} = 1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)$
提示：泰勒展开时，只需展开到 $x^2$ 项，因为乘积后 $x^4$ 项是主要项。
步骤 3/3
目标：计算极限
原极限 $= 7 \lim_{x \to 0} \frac{x^4/24}{x^4} = 7 \times \frac{1}{24} = \frac{7}{24}$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{x^4/24}{x^4} = \frac{1}{24}$
提示：注意系数 7 不要遗漏。
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