kaoyan3basic 高等数学 第210题
📝 题目
### 第210题 210 已知边际收益函数 $\displaystyle M R=\frac{a b}{(Q+b)^{2}}-k$ ，其中常数 $a>0, b>0, k>0$ ，则需求函数 $Q=Q(p)$ 的表达式为 （A）$\displaystyle Q=\frac{a}{p+k}-b$ ． （B）$\displaystyle Q=\frac{b}{p+k}-a$ ． （C）$\displaystyle Q=\frac{k}{p+a}-b$ ． （D）$\displaystyle Q=\frac{k}{p+b}-a$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：边际收益$\displaystyle MR=\frac{dR}{dQ}=\frac{ab}{(Q+b)^2}-k$，积分得$\displaystyle R(Q)=\int MR dQ = -\frac{ab}{Q+b}-kQ+C$。由$R(0)=0$得$\displaystyle C=\frac{a}{b}$，故$\displaystyle R(Q)=\frac{a}{b}-\frac{ab}{Q+b}-kQ=\frac{aQ}{Q+b}-kQ$。由$R=pQ$得$\displaystyle p=\frac{a}{Q+b}-k$，解得$\displaystyle Q=\frac{a}{p+k}-b$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由边际收益函数积分得到总收益函数
边际收益 MR = dR/dQ = ab/(Q+b)^2 - k，对Q积分得 R(Q) = ∫(ab/(Q+b)^2 - k) dQ = -ab/(Q+b) - kQ + C。
公式：R(Q) = ∫ MR dQ
提示：注意积分常数C需要由初始条件确定。
步骤 2/5
目标：利用初始条件确定积分常数
由R(0)=0，代入得 0 = -ab/(0+b) - k*0 + C = -a + C，所以 C = a。
公式：R(0)=0
提示：通常假设产量为0时总收益为0。
步骤 3/5
目标：化简总收益函数
将C=a代入得 R(Q) = -ab/(Q+b) - kQ + a = a - ab/(Q+b) - kQ = aQ/(Q+b) - kQ。
公式：R(Q) = aQ/(Q+b) - kQ
提示：通分合并项。
步骤 4/5
目标：利用总收益与价格关系得到需求函数
由R = pQ，得 pQ = aQ/(Q+b) - kQ，两边除以Q（Q>0）得 p = a/(Q+b) - k。
公式：p = a/(Q+b) - k
提示：注意Q>0。
步骤 5/5
目标：解出Q关于p的表达式
由 p = a/(Q+b) - k 得 p+k = a/(Q+b)，所以 Q+b = a/(p+k)，即 Q = a/(p+k) - b。
公式：Q = a/(p+k) - b
提示：注意分母不为零。
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