kaoyan3basic 高等数学 第209题
📝 题目
### 第209题 209 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 可导且 $f^{\prime}(x)<0(x \in(0,1))$ ，则 （A）当 $0
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：$f'(x)<0$，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减。考虑函数$\phi(x)=\int_0^x f(t)dt - x\int_0^1 f(t)dt$，$\phi(0)=0$，$\phi(1)=0$。$\phi'(x)=f(x)-\int_0^1 f(t)dt$。由于$f$递减，$\int_0^1 f(t)dt > f(x)$当$x<1$，故$\phi'(x)<0$在$(0,1)$，$\phi(x)$先增后减？实际上$\phi''(x)=f'(x)<0$，$\phi$是凹函数，在端点为零，故在$(0,1)$内$\phi(x)>0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析条件，确定函数单调性
由 f'(x) < 0 知 f(x) 在 [0,1] 上严格单调递减。
提示：导数小于0说明函数递减。
步骤 2/5
目标：构造函数，比较积分大小
令 φ(x) = ∫₀ˣ f(t)dt - x∫₀¹ f(t)dt，则 φ(0)=0，φ(1)=0。
公式：φ(x) = ∫₀ˣ f(t)dt - x∫₀¹ f(t)dt
提示：构造函数是处理积分不等式常用方法。
步骤 3/5
目标：求导分析 φ(x) 的单调性
φ'(x) = f(x) - ∫₀¹ f(t)dt。由于 f 递减，∫₀¹ f(t)dt > f(x) 对 x∈(0,1) 成立，故 φ'(x) < 0。
公式：φ'(x) = f(x) - ∫₀¹ f(t)dt
提示：利用积分中值定理或单调性比较积分平均值与函数值。
步骤 4/5
目标：判断 φ(x) 的凹凸性，确定符号
φ''(x) = f'(x) < 0，故 φ(x) 是凹函数。凹函数在端点处为零，则在内部大于零。因此 φ(x) > 0 对 x∈(0,1) 成立。
提示：凹函数在区间端点为零时，内部为正。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 φ(x) > 0 得 ∫₀ˣ f(t)dt > x∫₀¹ f(t)dt，故选 A。
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