kaoyan3basic 高等数学 第208题
📝 题目
### 第208题 208 设 $f(x)$ 为连续函数， $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1, F(t)=\int_{1}^{t}\left[f(y) \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y$ ，则 $F^{\prime}(2)=$ （A） $2 f(2)$ ． （B）$f(2)$ ． （C）$-f(2)$ ． （D） 0 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$F(t)=\int_1^t f(y)[\int_y^t f(x)dx]dy$，令$G(y,t)=\int_y^t f(x)dx$，则$F(t)=\int_1^t f(y)G(y,t)dy$。由含参积分求导公式，$\displaystyle F'(t)=f(t)G(t,t)+\int_1^t f(y)\frac{\partial}{\partial t}G(y,t)dy=0+\int_1^t f(y)f(t)dy=f(t)\int_1^t f(y)dy$。故$F'(2)=f(2)\int_1^2 f(x)dx=f(2)\cdot1=f(2)$。注意$\int_1^2 f(x)dx=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出F(t)的表达式并识别结构
F(t) = ∫_1^t f(y) [∫_y^t f(x) dx] dy，其中内层积分是y和t的函数，记G(y,t)=∫_y^t f(x) dx，则F(t)=∫_1^t f(y) G(y,t) dy。
公式：F(t) = ∫_1^t f(y) G(y,t) dy, G(y,t)=∫_y^t f(x) dx
提示：注意积分限和变量关系，内层积分是y到t。
步骤 2/5
目标：应用含参积分求导公式
F'(t) = f(t) G(t,t) + ∫_1^t f(y) ∂G(y,t)/∂t dy。由于G(t,t)=∫_t^t f(x)dx=0，所以第一项为0。
公式：d/dt ∫_a(t)^b(t) h(y,t) dy = h(b(t),t) b'(t) - h(a(t),t) a'(t) + ∫_a(t)^b(t) ∂h/∂t dy
提示：这里a(t)=1, b(t)=t, h(y,t)=f(y)G(y,t)。注意G(t,t)=0。
步骤 3/5
目标：计算偏导数∂G/∂t
∂G(y,t)/∂t = ∂/∂t ∫_y^t f(x) dx = f(t)（由变上限积分求导）。
公式：d/dt ∫_a^t f(x) dx = f(t)
提示：y视为常数，对t求导。
步骤 4/5
目标：代入并化简F'(t)
F'(t) = 0 + ∫_1^t f(y) f(t) dy = f(t) ∫_1^t f(y) dy。
公式：F'(t) = f(t) ∫_1^t f(y) dy
提示：f(t)可提到积分号外。
步骤 5/5
目标：代入t=2并利用已知条件
F'(2) = f(2) ∫_1^2 f(y) dy = f(2) * 1 = f(2)。
公式：∫_1^2 f(x) dx = 1
提示：注意积分变量符号无关。
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