kaoyan3basic 高等数学 第207题
📝 题目
### 第207题 207 设 $\displaystyle a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=$ （A）$\displaystyle (1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}+1$ ． （B）$\displaystyle \left(1+\mathrm{e}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-1$ ． （C）$\displaystyle \left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$ ． （D）$\displaystyle (1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}-1$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：令$u=1+x^{2n}$，则$\displaystyle x^{2n-1}dx=\frac{1}{2n}du$，积分限$\displaystyle x:0\to\frac{n+1}{n}$对应$\displaystyle u:1\to1+(\frac{n+1}{n})^{2n}$。$\displaystyle a_n=3\int_1^{1+(\frac{n+1}{n})^{2n}}\sqrt{u}\cdot\frac{1}{2n}du=\frac{3}{2n}\cdot\frac{2}{3}[u^{3/2}]_1^{1+(\frac{n+1}{n})^{2n}}=\frac{1}{n}[(1+(\frac{n+1}{n})^{2n})^{3/2}-1]$。则$\displaystyle \lim_{n\to\infty}na_n=\lim_{n\to\infty}[(1+(\frac{n+1}{n})^{2n})^{3/2}-1]=[(1+e^2)^{3/2}-1]$。注意$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\frac{n+1}{n})^{2n}=e^2$。 **难度**：★★★☆☆