kaoyan3basic 高等数学 第206题
📝 题目
### 第206题 206 由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 是 （A） $\int_{0}^{1} \pi(1+\sqrt{1+y})^{2} \mathrm{~d} y$ ． （B） $\int_{0}^{1} \pi(1-\sqrt{1-y})^{2} \mathrm{~d} y$ ． （C） $\int_{0}^{1} \pi[(1+\sqrt{1-y})-(1-\sqrt{1-y})]^{2} \mathrm{~d} y$ ． （D） $\int_{0}^{1} \pi\left[(1+\sqrt{1-y})^{2}-(1-\sqrt{1-y})^{2}\right] \mathrm{d} y$.
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：曲线$y=1-(x-1)^2$可化为$x=1\pm\sqrt{1-y}$，与$y=0$的交点为$x=0,2$。绕$y$轴旋转体积公式为$V=\pi\int_0^1[(1+\sqrt{1-y})^2-(1-\sqrt{1-y})^2]dy$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将曲线方程转化为x关于y的表达式
由 y = 1 - (x-1)^2 得 (x-1)^2 = 1 - y，所以 x = 1 ± √(1-y)。
公式：x = 1 ± √(1-y)
提示：注意开方后有两个分支，分别对应曲线的左右部分。
步骤 2/4
目标：确定积分变量和积分限
旋转体绕y轴，用y作为积分变量。曲线与y=0的交点：令y=0，得(x-1)^2=1，x=0或2，对应y=0。曲线在y轴上的范围：y从0到1（因为1-y≥0）。
公式：y ∈ [0,1]
提示：注意曲线顶点在(1,1)，y的最大值为1。
步骤 3/4
目标：应用旋转体体积公式（柱壳法或圆盘法）
绕y轴旋转，使用圆盘法（washer method）：体积元素为 π[(外半径)^2 - (内半径)^2] dy。外半径为右支x=1+√(1-y)，内半径为左支x=1-√(1-y)。
公式：V = π ∫_0^1 [(1+√(1-y))^2 - (1-√(1-y))^2] dy
提示：注意被积函数是半径平方差，不是半径差的平方。
步骤 4/4
目标：化简被积函数（可选）
计算平方差： (1+√(1-y))^2 - (1-√(1-y))^2 = (1+2√(1-y)+(1-y)) - (1-2√(1-y)+(1-y)) = 4√(1-y)。但题目选项未化简，直接给出平方差形式。
公式：平方差 = 4√(1-y)
提示：化简后积分更简单，但本题选项为原始形式。
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