kaoyan3basic 高等数学 第205题

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📝 题目

### 第205题 205 曲线 $\displaystyle y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=$ （A）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3}{5}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．

💡 答案解析

**答案**：D **解析**： 步骤1：曲线$y=\cos x$与坐标轴围成面积$\displaystyle S=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx = 1$。 步骤2：设$y=a\sin x$与$y=\cos x$交点为$x_0$，满足$a\sin x_0=\cos x_0$，即$\displaystyle \tan x_0=\frac{1}{a}$。 步骤3：$y=a\sin x$下方面积$S_1=\int_0^{x_0} a\sin x\,dx = a(1-\cos x_0)$，由$\displaystyle S_1=\frac{1}{2}$得$\displaystyle a(1-\cos x_0)=\frac{1}{2}$。 步骤4：由$\displaystyle \tan x_0=\frac{1}{a}$得$\displaystyle \cos x_0=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$，代入得$\displaystyle a\left(1-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\right)=\frac{1}{2}$，解得$\displaystyle a=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：计算曲线 y=cos x 与坐标轴围成的面积 S
曲线 y=cos x 在 [0, π/2] 上与 x 轴、y 轴围成的面积可通过定积分求得：S = ∫_0^{π/2} cos x dx = sin x|_0^{π/2} = 1。
公式：S = ∫_0^{π/2} cos x dx = 1
提示：注意积分上下限，cos x 在 [0, π/2] 上非负。
步骤 2/4
目标：设交点横坐标 x0，并建立关系
设 y = a sin x 与 y = cos x 的交点横坐标为 x0，则 a sin x0 = cos x0，即 tan x0 = 1/a。
公式：a sin x0 = cos x0 ⇒ tan x0 = 1/a
提示：交点满足两函数值相等。
步骤 3/4
目标：计算 y = a sin x 下方从 0 到 x0 的面积 S1
S1 = ∫_0^{x0} a sin x dx = a(-cos x)|_0^{x0} = a(1 - cos x0)。由题意，S1 = S/2 = 1/2，故 a(1 - cos x0) = 1/2。
公式：S1 = a(1 - cos x0) = 1/2
提示：注意积分结果符号，sin x 的原函数是 -cos x。
步骤 4/4
目标：利用 tan x0 = 1/a 表示 cos x0 并代入求解 a
由 tan x0 = 1/a，得 sin x0 = 1/√(1+a^2)，cos x0 = a/√(1+a^2)。代入 a(1 - cos x0) = 1/2 得 a(1 - a/√(1+a^2)) = 1/2。整理得 a - a^2/√(1+a^2) = 1/2。移项得 a - 1/2 = a^2/√(1+a^2)。两边平方并化简得 (a - 1/2)^2 (1+a^2) = a^4。展开得 (a^2 - a + 1/4)(1+a^2) = a^4，即 a^4 + a^2 - a^3 - a + a^2/4 + 1/4 = a^4，化简得 -a^3 + (5/4)a^2 - a + 1/4 = 0，乘以4得 -4a^3 + 5a^2 - 4a + 1 = 0，即 4a^3 - 5a^2 + 4a - 1 = 0。因式分解得 (a - 1/2)(4a^2 - 3a + 2) = 0，二次式判别式小于0，故 a = 1/2。
公式：a(1 - a/√(1+a^2)) = 1/2 ⇒ a = 1/2
提示：解方程时注意化简，可先猜测 a=1/2 代入验证。

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