kaoyan3basic 高等数学 第204题
📝 题目
### 第204题 204 设有下列命题 （1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$ ． （2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛． （3） $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散，也可能收敛。 （4）若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛． 则以上命题中正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：(1)中$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2}dx=\pi$，但$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$为偶函数，奇函数反例：$\int_{-\infty}^{+\infty} x dx$发散，故(1)错。 步骤2：(2)中$\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^R f(x)dx$存在是柯西主值，但反常积分需两个极限独立存在，故(2)错。 步骤3：(3)正确，如$f(x)=x, g(x)=-x$均发散，但和收敛。 步骤4：(4)正确，如$f(x)=x$，两个均发散，但整体发散。故正确个数为2。 **难度**：★★★☆☆