kaoyan3basic 高等数学 第203题
📝 题目
### 第203题 203 下列四个反常积分 （1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$ ． （3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$ ． （4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$ ． 中，收敛的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：A中$x=0$为瑕点，$\displaystyle \frac{1}{\sin x}\sim\frac{1}{x}$，发散。 步骤2：B中$\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi$，收敛。 步骤3：C中$\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$，收敛。 步骤4：D中$\displaystyle \int_2^{+\infty} \frac{dx}{x\ln^2 x} = \frac{1}{\ln 2}$，收敛。故发散的只有A。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断积分(1)的收敛性
对于积分 ∫₁^∞ dx/√(x²-1)，当 x→1⁺ 时，被积函数 ~ 1/√(2(x-1))，瑕积分发散；当 x→∞ 时，被积函数 ~ 1/x，无穷积分发散。因此积分(1)发散。
公式：∫₁^∞ dx/√(x²-1) 发散
提示：注意瑕点和无穷远双重发散性。
步骤 2/4
目标：判断积分(2)的收敛性
对于积分 ∫₁^∞ dx/√(x(x-1))，当 x→1⁺ 时，被积函数 ~ 1/√(x-1)，瑕积分收敛；当 x→∞ 时，被积函数 ~ 1/x，无穷积分发散。因此积分(2)发散。
公式：∫₁^∞ dx/√(x(x-1)) 发散
提示：注意瑕点收敛但无穷远发散。
步骤 3/4
目标：判断积分(3)的收敛性
对于积分 ∫₁^∞ dx/(x²√(x²-1))，当 x→1⁺ 时，被积函数 ~ 1/(√(2)√(x-1))，瑕积分收敛；当 x→∞ 时，被积函数 ~ 1/x³，无穷积分收敛。因此积分(3)收敛。
公式：∫₁^∞ dx/(x²√(x²-1)) 收敛
提示：瑕点和无穷远均收敛。
步骤 4/4
目标：判断积分(4)的收敛性
对于积分 ∫₁^∞ dx/(x(x²-1))，当 x→1⁺ 时，被积函数 ~ 1/(2(x-1))，瑕积分发散；当 x→∞ 时，被积函数 ~ 1/x³，无穷积分收敛。因此积分(4)发散。
公式：∫₁^∞ dx/(x(x²-1)) 发散
提示：瑕点发散导致整体发散。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。