kaoyan3basic 高等数学 第202题
📝 题目
### 第202题 202 下列反常积分发散的是 （A） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ． （B） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ． （C） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （D） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\int_0^{n\pi}|\sin x|dx = 2n$，故原式$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{(n+1)\pi}=\frac{2}{\pi}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：判断每个选项的反常积分的敛散性
对于选项(A)，积分区间[-1,1]内x=0为瑕点，被积函数1/sin x在x=0附近等价于1/x，而∫_{-1}^{1} 1/x dx发散，故(A)发散。对于选项(B)，被积函数1/√(1-x^2)在x=±1处为瑕点，但∫_{-1}^{1} 1/√(1-x^2) dx = π，收敛。对于选项(C)，∫_{0}^{+∞} e^{-x^2} dx = √π/2，收敛。对于选项(D)，∫_{2}^{+∞} 1/(x ln^2 x) dx = 1/ln 2，收敛。因此发散的是(A)。
公式：∫_{-1}^{1} 1/x dx 发散；∫_{-1}^{1} 1/√(1-x^2) dx = π；∫_{0}^{+∞} e^{-x^2} dx = √π/2；∫_{2}^{+∞} 1/(x ln^2 x) dx = 1/ln 2
提示：注意瑕点判断和p积分判别法
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