kaoyan3basic 高等数学 第201题
📝 题目
### 第201题 201 数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=$ （A） 0 ． （B）不存在． （C）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：原极限$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{1+4\left(\frac{k}{n}\right)^2}}$，此为黎曼和。 步骤2：对应积分$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}} = \frac{1}{2}\ln(2x+\sqrt{1+4x^2})\big|_0^1 = \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5})$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算分子积分
由于|sin x|的周期为π，在区间[0, nπ]上，积分等于n倍一个周期内的积分：∫_0^{nπ} |sin x| dx = n ∫_0^π sin x dx = n * 2 = 2n。
公式：∫_0^{nπ} |sin x| dx = 2n
提示：利用周期性简化积分。
步骤 2/2
目标：代入极限表达式
原极限 = lim_{n→∞} (2n) / ((n+1)π) = lim_{n→∞} (2n) / (π n + π) = lim_{n→∞} 2 / (π + π/n) = 2/π。
公式：lim_{n→∞} 2n/((n+1)π) = 2/π
提示：分子分母同除以n。
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