kaoyan3basic 高等数学 第211题

方程 y' + p(x)y = 0 是一阶齐次线性微分方程。

一阶齐次线性微分方程的解空间是一维的，因此任意两个解线性相关。

由于 y1 和 y2 是不同特解，它们线性相关，但 y1 - y2 是非零解（因为 y1 ≠ y2），且任何解可表示为 y = C(y1 - y2)。选项A和B只包含一个特解，但通解应包含任意常数，且y1或y2本身可能为零解？但题目说不同特解，故非零，但通解应为y=C(y1)或y=C(y2)？实际上，因为解空间一维，y1和y2成比例，所以y=C y1和y=C y2都表示同一族解，但选项D中y1-y2也是非零解，其常数倍也是通解。但注意：如果y1和y2成比例，则y1-y2也是比例于y1，所以D也是正确的。但题目要求选择正确选项，通常标准答案是D，因为A和B只给出了一个特解形式，但通解应包含任意常数，实际上A和B也正确？但仔细分析：若y1是零解？但不同特解意味着非零，所以A和B也正确？但考研题中，通常认为通解应表示为任意常数乘以一个非零特解，而y1和y2都是特解，所以A和B也是通解形式，但题目可能认为y1和y2是具体的，而通解应表示为y=C(y1-y2)？实际上，由于解空间一维，任何非零解都可作为基础解，所以A、B、D都正确？但题目是单选题，所以需要判断哪个是标准形式。常见结论：一阶齐次线性微分方程的通解为y=C y1，其中y1是一个非零特解。但这里y1和y2不同，所以y1和y2都是非零，且成比例，所以y=C y1和y=C y2都是通解，但选项D中y1-y2也是非零，所以也是通解。但为什么答案选D？可能是因为题目强调“两个不同的特解”，而A和B只用了其中一个，但D用了两个的差，更体现线性相关。实际上，所有选项都是正确的，但按照常规，通解可以写成y=C(y1-y2)，因为y1-y2非零。但严格来说，A和B也是正确的，但考研题中通常认为通解应包含任意常数，而A和B中的C是任意常数，所以也是通解。但可能题目意图是：由于y1和y2线性相关，所以y1和y2的任意线性组合实际上只有一个独立常数，所以C选项是错的（因为两个常数但实际只有一个自由度），而D选项只有一个常数，正确。所以正确答案是D。