kaoyan3basic 高等数学 第212题
📝 题目
### 第212题 212 设 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $$ $\begin{equation*}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 \tag{*}$ \end{equation*} $$ 有解 $y=y(x) \not \equiv 0$ 且以 $T$ 为周期的 （A）必要非充分条件． （B）充分非必要条件． （C）充分且必要条件． （D）既不充分也不必要条件． □
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：方程$y'+P(x)y=0$的通解为$y=Ce^{-\int P(x)dx}$。解以$T$为周期当且仅当$e^{-\int_0^T P(x)dx}=1$，即$\int_0^T P(x)dx=0$。存在非零周期解等价于该条件成立。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出微分方程的通解形式
方程 $y' + P(x)y = 0$ 是一阶线性齐次微分方程，其通解为 $y = Ce^{-\int P(x) dx}$，其中 $C$ 为任意常数。
公式：y = Ce^{-\int P(x) dx}
提示：注意积分常数 $C$ 可以取任意非零值，但周期解要求 $C \neq 0$ 时解非零。
步骤 2/3
目标：分析解以 $T$ 为周期的条件
解 $y(x) = Ce^{-\int_0^x P(t) dt}$ 以 $T$ 为周期当且仅当 $y(x+T) = y(x)$ 对所有 $x$ 成立。代入得 $Ce^{-\int_0^{x+T} P(t) dt} = Ce^{-\int_0^x P(t) dt}$，即 $e^{-\int_x^{x+T} P(t) dt} = 1$。由于 $P(x)$ 以 $T$ 为周期，$\int_x^{x+T} P(t) dt = \int_0^T P(t) dt$，故条件等价于 $e^{-\int_0^T P(t) dt} = 1$，即 $\int_0^T P(x) dx = 0$。
公式：\int_0^T P(x) dx = 0
提示：利用周期函数的积分性质：$\int_x^{x+T} P(t) dt = \int_0^T P(t) dt$。
步骤 3/3
目标：判断充分必要性
若 $\int_0^T P(x) dx = 0$，则取 $C \neq 0$ 得到非零周期解，故充分。反之，若存在非零周期解，则 $\int_0^T P(x) dx = 0$ 成立，故必要。因此是充分必要条件。
提示：注意非零解要求 $C \neq 0$，周期解条件与 $C$ 无关。
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