kaoyan3basic 高等数学 第213题
📝 题目
### 第213题 213 设 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$ （A）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 有关，与 $b, c$ 无关． （B）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 均无关。 （C）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $c$ 无关，只与 $b$ 有关． （D）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b$ 无关，只与 $c$ 有关． □ 纽貄笔记
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：特征方程$r^2+br+c=0$，$b,c>0$，特征根实部均为负（若实根则负，若复根则实部为$-b/2<0$），故所有解当$x\to+\infty$时趋于0，与初值无关。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析特征方程根的性质
写出特征方程 r^2 + b r + c = 0，其中 b>0, c>0。判别式 Δ = b^2 - 4c。
公式：r^2 + b r + c = 0
提示：注意 b, c 为正数。
步骤 2/3
目标：讨论特征根实部的符号
若 Δ ≥ 0，特征根为实根 r1, r2 = (-b ± √Δ)/2，由于 b>0，两根均为负；若 Δ < 0，特征根为共轭复根，实部为 -b/2 < 0。因此所有特征根的实部均为负。
公式：实部 = -b/2 < 0
提示：实部为负是解趋于零的关键。
步骤 3/3
目标：确定解当 x→+∞ 时的极限
由于特征根实部均为负，微分方程的通解形式为指数衰减或衰减振荡，因此无论初值如何，当 x→+∞ 时，y(x) → 0。
公式：lim_{x→+∞} y(x) = 0
提示：极限与初值及 b, c 的具体值无关。
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