kaoyan3basic 高等数学 第214题
📝 题目
### 第214题 214 已知 $y^{*}=\mathrm{e}^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=(c x+$ d） $\mathrm{e}^{x}$ 的一个解，则方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是 （A）$a=1, b=-2, c=6, d=2$ ． （B）$a=1, b=2, c=6, d=-2$ ． （C）$a=1, b=-2, c=-6, d=2$ ． （D）$a=1, b=-2, c=6, d=-2$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：$y^*=e^{-2x}+(x^2+2)e^x$，代入方程。$e^{-2x}$对应齐次解，故$-2$是特征根，特征方程$r^2+ar+b=0$有根$r=-2$，得$4-2a+b=0$。$(x^2+2)e^x$是非齐次特解，代入得比较系数得$a=1,b=-2,c=6,d=2$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定特征根并建立方程
已知解中包含 e^{-2x}，它对应齐次方程的解，因此 r=-2 是特征方程 r^2+ar+b=0 的一个根，代入得 4-2a+b=0。
公式：r^2+ar+b=0，代入 r=-2 得 4-2a+b=0
提示：注意非齐次解由齐次解和特解组成，e^{-2x} 部分对应齐次解。
步骤 2/3
目标：将特解部分代入非齐次方程
设特解 y_p=(x^2+2)e^x，计算 y_p'=(x^2+2x+2)e^x，y_p''=(x^2+4x+4)e^x。代入原方程 y''+ay'+by=(cx+d)e^x，得 (x^2+4x+4)+a(x^2+2x+2)+b(x^2+2) = cx+d。整理得 (1+a+b)x^2 + (4+2a)x + (4+2a+2b) = cx+d。
公式：y_p''+ay_p'+by_p = (cx+d)e^x
提示：计算导数时注意乘积法则，并约去公因子 e^x。
步骤 3/3
目标：比较系数求解参数
比较 x^2 系数：1+a+b=0；x 系数：4+2a=c；常数项：4+2a+2b=d。结合第一步的方程 4-2a+b=0，解方程组得 a=1, b=-2, c=6, d=2。
公式：方程组：1+a+b=0, 4+2a=c, 4+2a+2b=d, 4-2a+b=0
提示：先解 a,b，再求 c,d。
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