kaoyan3basic 高等数学 第215题
📝 题目
### 第215题 215 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $$ x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^{3} $$ 则可得 （A）$f(x)=C x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ，（ $C$ 为任意常数）． （B）$f(x)=x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ． （C）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}C x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array},(C\right.$ 为任意常数）． （D）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：令$u=tx$，则$\displaystyle \int_0^1 f(tx)dt=\frac{1}{x}\int_0^x f(u)du$，方程化为$\int_0^x f(u)du+2\int_0^x f(t)dt=xf(x)+x^3$，即$3\int_0^x f(t)dt=xf(x)+x^3$。两边求导得$3f(x)=f(x)+xf'(x)+3x^2$，即$2f(x)=xf'(x)+3x^2$，解得$f(x)=Cx^2-3x^2\ln x$。由连续性，$f(0)=0$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
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