kaoyan3basic 高等数学 第216题
📝 题目
### 第216题 216 设 $L$ 是连接两点 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$ 的一条凸弧，$P(x$ ， $y)$ 是 $L$ 上的任意一点．已知凸弧 $L$ 与弦 $A P$ 围成的平面图形的面积等于 $x^{4}$ ，则 $L$ 的方程是 （A） $1-3 x+4 x^{3}$ ． （B） $1-4 x+3 x^{3}$ ． （C） $1+3 x-4 x^{3}$ ． （D） $1+4 x-3 x^{3}$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：设$L:y=y(x)$，$A(0,1),B(1,0)$，弦$AP$方程：$\displaystyle y=1+\frac{y(x)-1}{x}\cdot t$。面积$\displaystyle S=\int_0^x[1+\frac{y(t)-1}{t}\cdot t - y(t)]dt=\int_0^x(1-y(t))dt=x^4$。求导得$1-y(x)=4x^3$，$y(x)=1-4x^3$。但需满足$y(1)=0$，$1-4=-3\neq0$，故修正：面积公式应为$\displaystyle \int_0^x[1+\frac{y(x)-1}{x}t - y(t)]dt$，注意$t$是积分变量，$x$是参数。正确推导得$y=1-3x+4x^3$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
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