kaoyan3basic 高等数学 第217题
📝 题目
### 第217题 217 设 $a, b, c$ 为待定常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=3 x-2 \mathrm{e}^{x}$ 的特解具有形式 （A）$(a x+b) \mathrm{e}^{x}$ ． （B）$(a x+b) x \mathrm{e}^{x}$ ． （C）$(a x+b)+c \mathrm{e}^{x}$ ． （D）$(a x+b)+c x \mathrm{e}^{x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：齐次方程$y''-3y'+2y=0$的特征根$r=1,2$。非齐次项$3x-2e^x$，对$3x$设特解$ax+b$，对$-2e^x$，因$r=1$是单根，设特解$cxe^x$。故总特解形式为$(ax+b)+cxe^x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定齐次方程的特征根
写出齐次方程 y'' - 3y' + 2y = 0 的特征方程 r^2 - 3r + 2 = 0，解得 r = 1, 2。
公式：r^2 - 3r + 2 = 0
提示：特征根用于判断非齐次项中指数函数是否与齐次解重合。
步骤 2/3
目标：分析非齐次项并分别设特解形式
非齐次项为 3x - 2e^x。对于多项式部分 3x，设特解形式为 ax+b。对于指数部分 -2e^x，由于 r=1 是单根，设特解形式为 c x e^x。
公式：特解形式：ax+b + c x e^x
提示：当非齐次项中的指数与特征根相同时，需乘以 x 的幂次。
步骤 3/3
目标：合并特解形式
将两部分特解相加，得到总特解形式为 (ax+b) + c x e^x。
公式：y* = (ax+b) + c x e^x
提示：注意不要遗漏多项式部分。
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