kaoyan3basic 高等数学 第218题
📝 题目
### 第218题 218 已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则此曲线的方程为 （A）$y=\sin 2 x$ ． （B）$\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ． （C）$\displaystyle y=\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ． （D）$y=\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：特征方程$r^2-6r+9=0$，$r=3$（二重根）。齐次通解$y=(C_1+C_2x)e^{3x}$。非齐次项$e^{3x}$，设特解$y^*=Ax^2e^{3x}$，代入得$\displaystyle A=\frac{1}{2}$。通解$\displaystyle y=(C_1+C_2x+\frac{1}{2}x^2)e^{3x}$。由$y(0)=0$得$C_1=0$，$y'(0)=2$（切线平行$2x-y-5=0$，斜率$2$），$\displaystyle y'(x)=[C_2+x+3(\frac{1}{2}x^2)]e^{3x}$，$y'(0)=C_2=2$。故$\displaystyle y=(2x+\frac{1}{2}x^2)e^{3x}=\frac{x}{2}(x+4)e^{3x}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求解齐次微分方程的通解
写出特征方程 r^2 - 6r + 9 = 0，解得 r = 3（二重根），因此齐次通解为 y_h = (C1 + C2 x) e^{3x}。
公式：r^2 - 6r + 9 = 0
提示：注意二重根时通解形式为 (C1 + C2 x) e^{rx}。
步骤 2/5
目标：求非齐次方程的特解
非齐次项为 e^{3x}，而3是特征根，故设特解 y* = A x^2 e^{3x}，代入原方程，比较系数得 A = 1/2。
公式：y* = A x^2 e^{3x}，代入后得 2A e^{3x} = e^{3x}，所以 A = 1/2
提示：特解形式需根据非齐次项与特征根的关系确定。
步骤 3/5
目标：写出非齐次方程的通解
通解为 y = y_h + y* = (C1 + C2 x + (1/2)x^2) e^{3x}。
公式：y = (C1 + C2 x + (1/2)x^2) e^{3x}
步骤 4/5
目标：利用初始条件确定常数
由曲线过原点得 y(0)=0，代入得 C1=0。切线平行于直线2x-y-5=0，该直线斜率为2，故 y'(0)=2。求导得 y'(x) = [C2 + x + (3/2)x^2] e^{3x}，代入 x=0 得 C2=2。
公式：y'(x) = [C2 + x + (3/2)x^2] e^{3x}，y'(0)=C2=2
提示：注意求导时使用乘积法则。
步骤 5/5
目标：写出曲线方程并化简
代入 C1=0, C2=2 得 y = (2x + (1/2)x^2) e^{3x} = (x/2)(x+4) e^{3x}。
公式：y = (x/2)(x+4) e^{3x}
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