kaoyan3basic 高等数学 第219题
📝 题目
### 第219题 219 设 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_{1}, C_{2}$是两个任意常数，则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是 （A）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$ ． （B）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （C）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ． （D）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：$C_1f_1(x)+C_2f_2(x)$是通解的充要条件是$f_1,f_2$线性无关，即Wronskian行列式$W(x)=f_1(x)f_2'(x)-f_2(x)f_1'(x)\neq0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解通解的定义
二阶线性齐次微分方程的通解需要两个线性无关的特解的线性组合。因此，C1f1(x)+C2f2(x)是通解的充要条件是f1和f2线性无关。
提示：线性无关意味着不存在非零常数k使得f1=kf2。
步骤 2/3
目标：判断线性无关的判别方法
对于两个函数，线性无关的充分必要条件是它们的Wronskian行列式不为零。Wronskian定义为W(x)=f1(x)f2'(x)-f2(x)f1'(x)。
公式：W(x)=f1(x)f2'(x)-f2(x)f1'(x)
提示：Wronskian为零则线性相关，不为零则线性无关。
步骤 3/3
目标：匹配选项
选项D给出f1(x)f2'(x)-f2(x)f1'(x)≠0，这正是Wronskian不为零的条件，因此是充分条件。其他选项均不正确。
提示：注意区分选项中的符号：减号对应Wronskian，加号则不是。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。