kaoyan3basic 高等数学 第220题
📝 题目
### 第220题 220 若 $A, B$ 为非零常数，$k$ 为常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x$ 的特解可能具有形式 （A）$A \sin x+B \cos x$ ． （B）$A x \cos x$ ． （C）$A x \sin x$ ． （D）$A x \sin x+B x \cos x$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：特征方程$r^2+k^2=0$，$r=\pm ki$。非齐次项$\cos x$，当$k\neq1$时，特解形式$A\cos x+B\sin x$；当$k=1$时，$r=\pm i$与$\cos x$共振，特解形式$x(A\cos x+B\sin x)$。选项中$A x\sin x+B x\cos x$可涵盖两种情况（$k=1$时$A,B$不全为零，$k\neq1$时$A=B=0$不成立，但选项形式可表示共振情况）。综合，可能形式为$A x\sin x+B x\cos x$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出特征方程并求解特征根
微分方程对应的齐次方程为 y'' + k^2 y = 0，特征方程为 r^2 + k^2 = 0，解得 r = ±ki。
公式：r^2 + k^2 = 0
提示：特征根为共轭复根，形式为 ±αi，其中 α = k。
步骤 2/4
目标：分析非齐次项形式
非齐次项为 cos x，对应特征根为 ±i。需要比较 ±i 与特征根 ±ki 的关系。
提示：非齐次项 cos x 对应复数特征根 ±i。
步骤 3/4
目标：根据 k 是否等于 1 分类讨论特解形式
若 k ≠ 1，则 ±i 不是特征根，特解形式为 A cos x + B sin x；若 k = 1，则 ±i 是特征根，特解形式为 x(A cos x + B sin x)。
提示：当非齐次项对应的特征根与齐次特征根相同时，需乘以 x 以得到特解。
步骤 4/4
目标：合并两种情况，选择可能形式
选项 D 为 A x sin x + B x cos x，当 k = 1 时，A, B 不全为零，即为所需形式；当 k ≠ 1 时，虽然实际特解不含 x，但选项形式仍可表示（令 A = B = 0 即可，但题目要求非零常数，故不成立），但题目问的是“可能具有形式”，即存在某种 k 使得该形式成立，而 D 能涵盖 k = 1 的情况，其他选项不能。因此选 D。
提示：注意题目中 A, B 为非零常数，但选项中的 A, B 是待定系数，可为零。
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