kaoyan3basic 高等数学 第221题
📝 题目
### 第221题 221 设 $A, B$ 都是不等于零的常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解 （A）$y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （B）$y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （C）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ ． （D）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ． □
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：对应齐次方程的特征方程为$r^2-2r+5=0$，解得$r=1\pm2i$。步骤2：非齐次项$e^x\cos2x$对应特征根$1\pm2i$，故需乘以$x$。步骤3：特解形式为$y^*=xe^x(A\cos2x+B\sin2x)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求解对应齐次方程的特征根
写出齐次方程 y''-2y'+5y=0 的特征方程 r^2-2r+5=0，解得 r=1±2i。
公式：r^2-2r+5=0
提示：注意特征根为共轭复根。
步骤 2/3
目标：分析非齐次项形式
非齐次项为 e^x cos2x，对应的特征根为 1±2i，与齐次方程的特征根相同。
提示：当非齐次项指数与特征根重合时，需乘以 x。
步骤 3/3
目标：确定特解形式
由于特征根重合，特解形式需乘以 x，故设为 y* = x e^x (A cos2x + B sin2x)。
公式：y* = x e^x (A cos2x + B sin2x)
提示：注意包含正弦和余弦项。
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