kaoyan3basic 高等数学 第66题
📝 题目
### 第66题 66 在曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 上取一点 $\left(t, t^{2}\right)(0
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle A_1 = \int_{0}^{t} (t^2 - x^2) \mathrm{d}x = t^2 \cdot t - \frac{t^3}{3} = \frac{2}{3}t^3$，$\displaystyle A_2 = \int_{t}^{1} (x^2 - t^2) \mathrm{d}x = \frac{1}{3}(1 - t^3) - t^2(1-t) = \frac{1}{3} - t^2 + \frac{2}{3}t^3$。 步骤2：$\displaystyle A = A_1 + A_2 = \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{3} - t^2 + \frac{2}{3}t^3 = \frac{4}{3}t^3 - t^2 + \frac{1}{3}$。 步骤3：求导$A' = 4t^2 - 2t = 2t(2t-1)$，令$A'=0$得$t=0$（舍）或$\displaystyle t=\frac{1}{2}$，且为极小值点。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算A1的面积
A1由曲线y=x^2、直线y=t^2和x=0围成，在区间[0,t]上，直线在上，曲线在下，因此A1 = ∫_0^t (t^2 - x^2) dx。
公式：A1 = ∫_0^t (t^2 - x^2) dx = t^2 * t - (1/3)t^3 = (2/3)t^3
提示：注意积分上下限和谁减谁。
步骤 2/4
目标：计算A2的面积
A2由曲线y=x^2、直线y=t^2和x=1围成，在区间[t,1]上，曲线在上，直线在下，因此A2 = ∫_t^1 (x^2 - t^2) dx。
公式：A2 = ∫_t^1 (x^2 - t^2) dx = (1/3)(1 - t^3) - t^2(1-t) = 1/3 - t^2 + (2/3)t^3
提示：注意积分上下限和谁减谁。
步骤 3/4
目标：求A的表达式
A = A1 + A2 = (2/3)t^3 + (1/3 - t^2 + (2/3)t^3) = (4/3)t^3 - t^2 + 1/3。
公式：A = (4/3)t^3 - t^2 + 1/3
提示：合并同类项。
步骤 4/4
目标：求导并找到极值点
对A求导：A' = 4t^2 - 2t = 2t(2t-1)。令A'=0，得t=0或t=1/2。由于01/2时A'>0，所以t=1/2是极小值点。
公式：A' = 4t^2 - 2t = 2t(2t-1)
提示：注意定义域0
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