kaoyan3basic 高等数学 第65题
📝 题目
### 第65题 65 设 $f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \begin{cases} x-1, & 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3}, & x > 1 \end{cases}$（注：$x \geq 1$时，$f(x)=\max\{1,x^2\}=x^2$，故$\displaystyle \int_{1}^{x} t^2 \mathrm{d}t = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3}$；若$x<1$，则需分段，但题目隐含$x \geq 1$） **解析**： 步骤1：当$x \geq 1$时，$f(t)=\max\{1,t^2\}=t^2$（因为$t \geq 1$时$t^2 \geq 1$）。 步骤2：$\displaystyle \int_{1}^{x} t^2 \mathrm{d}t = \frac{t^3}{3}\Big|_{1}^{x} = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定被积函数f(t)在积分区间上的表达式
由于积分下限为1，上限为x，且x≥1，因此积分区间t∈[1,x]上的t≥1，此时t^2≥1，故f(t)=max{1,t^2}=t^2。
公式：f(t)=t^2, t≥1
提示：注意max函数的定义：取两者中的较大者。当t≥1时，t^2≥1，所以取t^2。
步骤 2/2
目标：计算定积分
计算∫_{1}^{x} t^2 dt = [t^3/3]_{1}^{x} = x^3/3 - 1/3。
公式：∫ t^2 dt = t^3/3 + C
提示：直接使用幂函数积分公式。
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