kaoyan3basic 高等数学 第64题

**答案**：$\displaystyle \frac{\pi^2}{4}$ **解析**： 步骤1：利用对称性，$\displaystyle I = \int_{0}^{\pi} \frac{x|\sin x \cos x|}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x$，令$x = \pi - t$，则$\displaystyle I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - t)|\sin t \cos t|}{1+\cos^2 t} \mathrm{d}t$。 步骤2：两式相加得$\displaystyle 2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{|\sin x \cos x|}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x$，由于被积函数周期为$\pi$，且$\sin x \cos x$在$[0,\pi]$上变号，分段积分：$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x + \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{-\sin x \cos x}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x$。 步骤3：令$u = \cos x$，第一积分$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x = \int_{1}^{0} \frac{-u}{1+u^2} \mathrm{d}u = \int_{0}^{1} \frac{u}{1+u^2} \mathrm{d}u = \frac{1}{2}\ln(1+u^2)\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln 2$；第二积分类似得$\displaystyle \frac{1}{2}\ln 2$，总和为$\ln 2$。 步骤4：$2I = \pi \ln 2$，故$\displaystyle I = \frac{\pi}{2}\ln 2$。 **答案更正**：计算有误，重新积分：$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{|\sin x \cos x|}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x = 2 \cdot \frac{1}{2}\ln 2 = \ln 2$，则$2I = \pi \ln 2$，$\displaystyle I = \frac{\pi}{2}\ln 2$。 **最终答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}\ln 2$ **难度**：★★★☆☆