kaoyan3basic 高等数学 第63题
📝 题目
### 第63题 63 设 $f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则 $$ F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t(x \geqslant 1) $$ 的极小值点是 $x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle F(x) = \int_{1}^{x} \left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d}t$，求导得$\displaystyle F'(x) = \left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)\right] f(x) \cdot 1 + \int_{1}^{x} \frac{\partial}{\partial x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d}t = \int_{1}^{x} \left(-\frac{2}{x^2} + \frac{1}{x}\right) f(t) \mathrm{d}t$。 步骤2：令$F'(x)=0$得$\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d}t = 0$，由于$f(t)>0$，故$x=1$为唯一驻点，且为极小值点。 **难度**：★★★☆☆