kaoyan3basic 高等数学 第62题
📝 题目
### 第62题 $\displaystyle 62 f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0 \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}(1 - e^{-4}) + \tan\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：令$u = x-2$，则$\mathrm{d}x = \mathrm{d}u$，积分限变为$u$从$-1$到$2$，即$\int_{1}^{4} f(x-2)\mathrm{d}x = \int_{-1}^{2} f(u)\mathrm{d}u$。 步骤2：分段积分：$\displaystyle \int_{-1}^{0} \frac{1}{1+\cos u}\mathrm{d}u + \int_{0}^{2} u e^{-u^2}\mathrm{d}u$。 步骤3：$\displaystyle \int_{-1}^{0} \frac{1}{1+\cos u}\mathrm{d}u = \int_{-1}^{0} \frac{1}{2\cos^2(u/2)}\mathrm{d}u = \tan\frac{u}{2}\Big|_{-1}^{0} = \tan\frac{1}{2}$。 步骤4：$\displaystyle \int_{0}^{2} u e^{-u^2}\mathrm{d}u = -\frac{1}{2}e^{-u^2}\Big|_{0}^{2} = \frac{1}{2}(1 - e^{-4})$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：换元积分
令 u = x-2，则 dx = du，积分限：x从1到4对应u从-1到2，所以 ∫₁⁴ f(x-2)dx = ∫₋₁² f(u)du。
公式：∫₁⁴ f(x-2)dx = ∫₋₁² f(u)du
提示：换元时注意积分限的变化。
步骤 2/5
目标：分段积分
f(u)分段定义：u≥0时f(u)=u e^{-u²}，-1
公式：∫₋₁² f(u)du = ∫₋₁⁰ 1/(1+cos u)du + ∫₀² u e^{-u²}du
提示：注意分段点u=0。
步骤 3/5
目标：计算第一部分积分
利用1+cos u = 2cos²(u/2)，则 ∫₋₁⁰ 1/(1+cos u)du = ∫₋₁⁰ 1/(2cos²(u/2))du = ∫₋₁⁰ (1/2)sec²(u/2)du = tan(u/2)|₋₁⁰ = tan(0) - tan(-1/2) = tan(1/2)。
公式：∫ 1/(1+cos u)du = tan(u/2) + C
提示：注意tan是奇函数，tan(-1/2) = -tan(1/2)。
步骤 4/5
目标：计算第二部分积分
∫₀² u e^{-u²}du，令t=u²，则dt=2u du，u du = dt/2，积分限：u从0到2对应t从0到4，所以原积分 = ∫₀⁴ e^{-t} * (1/2) dt = (1/2)(-e^{-t})|₀⁴ = (1/2)(1 - e^{-4})。
公式：∫ u e^{-u²}du = -1/2 e^{-u²} + C
提示：直接凑微分也可：∫ u e^{-u²}du = -1/2 ∫ e^{-u²} d(-u²) = -1/2 e^{-u²} + C。
步骤 5/5
目标：合并结果
两部分相加得 ∫₁⁴ f(x-2)dx = tan(1/2) + (1/2)(1 - e^{-4})。
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