kaoyan3basic 高等数学 第61题
📝 题目
### 第61题 61 设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：令$t = x + \varphi$，则$x = t - \varphi$，$\mathrm{d}x = \mathrm{d}t$，积分限变为$\varphi$到$2\pi + \varphi$，由周期性得$\int_{0}^{2\pi} f(\sin(x+\varphi))\mathrm{d}x = \int_{0}^{2\pi} f(\sin t)\mathrm{d}t$。 步骤2：利用对称性，$\int_{0}^{2\pi} f(\sin t)\mathrm{d}t = 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\sin t)\mathrm{d}t$，故$A=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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