kaoyan3basic 高等数学 第60题
📝 题目
### 第60题 $60 I=\int_{0}^{1}\left[\sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}\right] \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}$ **解析**：步骤1：$\int_0^1\sqrt{2x-x^2}dx=\int_0^1\sqrt{1-(x-1)^2}dx$，表示半径为1的圆的四分之一面积，即$\displaystyle \frac{\pi}{4}$。步骤2：$\int_0^1\sqrt{(1-x^2)^3}dx$，令$x=\sin t$，$dx=\cos t dt$，$x\in[0,1]$对应$\displaystyle t\in[0,\frac{\pi}{2}]$，原积分$=\int_0^{\pi/2}\cos^4 t dt$。步骤3：由第12题，$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos^4 t dt = \frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2}+0+0=\frac{3\pi}{16}$。步骤4：原积分$\displaystyle =\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{16}=\frac{\pi}{16}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算第一个积分 ∫₀¹ √(2x - x²) dx
将根号内配方：2x - x² = 1 - (x-1)²，所以 √(2x - x²) = √(1 - (x-1)²)。该积分表示半径为1的圆在 x∈[0,1] 部分的面积，即四分之一圆的面积，值为 π/4。
公式：∫₀¹ √(1 - (x-1)²) dx = π/4
提示：利用几何意义：圆面积公式
步骤 2/4
目标：计算第二个积分 ∫₀¹ √((1-x²)³) dx
令 x = sin t，则 dx = cos t dt，当 x=0 时 t=0，x=1 时 t=π/2。代入得 ∫₀^{π/2} √((1-sin²t)³) cos t dt = ∫₀^{π/2} (cos²t)^(3/2) cos t dt = ∫₀^{π/2} cos⁴ t dt。
公式：x = sin t, dx = cos t dt, √((1-x²)³) = cos³ t
提示：注意 cos t ≥ 0 在 [0, π/2] 上
步骤 3/4
目标：计算 ∫₀^{π/2} cos⁴ t dt
利用倍角公式降幂：cos⁴ t = ( (1+cos2t)/2 )² = (1 + 2cos2t + cos²2t)/4 = 1/4 + (1/2)cos2t + (1/4)(1+cos4t)/2 = 3/8 + (1/2)cos2t + (1/8)cos4t。积分得 ∫₀^{π/2} cos⁴ t dt = [3t/8 + (1/4)sin2t + (1/32)sin4t]₀^{π/2} = (3π/16) + 0 + 0 = 3π/16。
公式：∫₀^{π/2} cos⁴ t dt = 3π/16
提示：也可用华里士公式
步骤 4/4
目标：计算原积分 I
原积分 I = 第一个积分 - 第二个积分 = π/4 - 3π/16 = (4π/16 - 3π/16) = π/16。
公式：I = π/4 - 3π/16 = π/16
提示：注意减法顺序
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