kaoyan3basic 高等数学 第59题
📝 题目
### 第59题 $59 I=\int_{0}^{1} \arcsin x \cdot \arccos x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}-1$ **解析**：步骤1：利用对称性，令$x=\sin t$，则$dx=\cos t dt$，$x\in[0,1]$对应$\displaystyle t\in[0,\frac{\pi}{2}]$，$\arcsin x=t$，$\displaystyle \arccos x=\frac{\pi}{2}-t$。步骤2：原积分$\displaystyle =\int_0^{\pi/2}t(\frac{\pi}{2}-t)\cos t dt$。步骤3：计算$\displaystyle \int_0^{\pi/2}t\cos t dt = [t\sin t+\cos t]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}-1$，$\displaystyle \int_0^{\pi/2}t^2\cos t dt = [t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t]_0^{\pi/2}=\frac{\pi^2}{4}-2$。步骤4：原积分$\displaystyle =\frac{\pi}{2}(\frac{\pi}{2}-1)-(\frac{\pi^2}{4}-2)=\frac{\pi^2}{4}-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^2}{4}+2=2-\frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用换元法简化积分
令 x = sin t，则 dx = cos t dt，当 x 从 0 到 1 时，t 从 0 到 π/2。此时 arcsin x = t，arccos x = π/2 - t。
公式：x = sin t, dx = cos t dt
提示：注意换元后积分限的变化以及反三角函数的转换。
步骤 2/5
目标：将原积分转化为关于 t 的积分
原积分 I = ∫_{0}^{π/2} t (π/2 - t) cos t dt = (π/2)∫_{0}^{π/2} t cos t dt - ∫_{0}^{π/2} t^2 cos t dt。
公式：I = ∫_{0}^{π/2} t(π/2 - t) cos t dt
提示：展开被积函数，拆分为两个积分之和。
步骤 3/5
目标：计算 ∫ t cos t dt
使用分部积分法：∫ t cos t dt = t sin t + cos t + C。代入上下限得：∫_{0}^{π/2} t cos t dt = [t sin t + cos t]_{0}^{π/2} = (π/2 * 1 + 0) - (0 + 1) = π/2 - 1。
公式：∫ t cos t dt = t sin t + cos t + C
提示：分部积分时，设 u = t, dv = cos t dt。
步骤 4/5
目标：计算 ∫ t^2 cos t dt
使用分部积分法两次：∫ t^2 cos t dt = t^2 sin t + 2t cos t - 2 sin t + C。代入上下限得：∫_{0}^{π/2} t^2 cos t dt = [t^2 sin t + 2t cos t - 2 sin t]_{0}^{π/2} = (π^2/4 * 1 + 0 - 2) - (0 + 0 - 0) = π^2/4 - 2。
公式：∫ t^2 cos t dt = t^2 sin t + 2t cos t - 2 sin t + C
提示：分部积分两次，注意符号。
步骤 5/5
目标：代入并化简得到最终结果
I = (π/2)*(π/2 - 1) - (π^2/4 - 2) = π^2/4 - π/2 - π^2/4 + 2 = 2 - π/2。
提示：注意合并同类项。
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