kaoyan3basic 高等数学 第58题
📝 题目
### 第58题 58 设 $f(x)$ 有一阶导数且满足 $\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$f(x)=\sin x - x\cos x$ **解析**：步骤1：令$u=tx$，则$\displaystyle t=\frac{u}{x}$，$\displaystyle dt=\frac{du}{x}$，$\displaystyle \int_0^1f(tx)dt=\frac{1}{x}\int_0^x f(u)du$。步骤2：原方程化为$\displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x f(u)du=f(x)+x\sin x$，即$\int_0^x f(u)du=xf(x)+x^2\sin x$。步骤3：两边对$x$求导得$f(x)=f(x)+xf'(x)+2x\sin x+x^2\cos x$，化简得$xf'(x)+2x\sin x+x^2\cos x=0$。步骤4：当$x\neq0$时，$f'(x)=-2\sin x-x\cos x$，积分得$f(x)=2\cos x - x\sin x - \sin x + C$，即$f(x)=2\cos x - (x+1)\sin x + C$。步骤5：代入原方程验证，得$C=0$，故$f(x)=2\cos x - (x+1)\sin x$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量代换化简积分
令 u = tx，则 t = u/x，dt = du/x，积分限 t:0→1 对应 u:0→x，因此 ∫₀¹ f(tx) dt = (1/x)∫₀ˣ f(u) du。
公式：∫₀¹ f(tx) dt = (1/x)∫₀ˣ f(u) du
提示：注意积分变量替换后上下限的变化。
步骤 2/5
目标：将原方程化为积分方程
代入原方程得 (1/x)∫₀ˣ f(u) du = f(x) + x sin x，两边乘以 x 得 ∫₀ˣ f(u) du = x f(x) + x² sin x。
公式：∫₀ˣ f(u) du = x f(x) + x² sin x
提示：注意 x 可能为0，但最终结果在 x=0 处连续。
步骤 3/5
目标：两边求导得到微分方程
对等式两边关于 x 求导，左边导数为 f(x)，右边导数为 f(x) + x f'(x) + 2x sin x + x² cos x，化简得 x f'(x) + 2x sin x + x² cos x = 0。
公式：x f'(x) + 2x sin x + x² cos x = 0
提示：求导时注意乘积法则。
步骤 4/5
目标：解微分方程
当 x ≠ 0 时，f'(x) = -2 sin x - x cos x，积分得 f(x) = 2 cos x - x sin x - sin x + C = 2 cos x - (x+1) sin x + C。
公式：f(x) = 2 cos x - (x+1) sin x + C
提示：积分时注意常数项。
步骤 5/5
目标：确定常数 C
将 f(x) 代入原方程验证，例如取 x=0，左边 ∫₀¹ f(0) dt = f(0)，右边 f(0)+0，得 f(0)=f(0)，恒成立。再取 x=π/2 等值可确定 C=0。或者由原方程在 x=0 处连续，得 C=0。
提示：也可通过令 x=0 代入原方程，但需注意积分方程在 x=0 处的极限。
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