kaoyan3basic 高等数学 第57题
📝 题目
### 第57题 $57 . I_{1}=\int \cos ^{4} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ，$I_{2}=\int \sin ^{4} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle I_1=\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\sin2x+\frac{1}{32}\sin4x+C$，$\displaystyle I_2=\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin2x+\frac{1}{32}\sin4x+C$ **解析**：步骤1：利用降幂公式$\displaystyle \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$，$\displaystyle \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$。步骤2：$\displaystyle \cos^4x=(\frac{1+\cos2x}{2})^2=\frac{1}{4}(1+2\cos2x+\cos^22x)=\frac{1}{4}(1+2\cos2x+\frac{1+\cos4x}{2})=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{8}\cos4x$。积分得$\displaystyle I_1=\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\sin2x+\frac{1}{32}\sin4x+C$。步骤3：$\displaystyle \sin^4x=(\frac{1-\cos2x}{2})^2=\frac{1}{4}(1-2\cos2x+\cos^22x)=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{8}\cos4x$。积分得$\displaystyle I_2=\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin2x+\frac{1}{32}\sin4x+C$。 **难度**：★★☆☆☆