kaoyan3basic 高等数学 第635题
📝 题目
### 第635题 635 差分方程 $\displaystyle y_{t+1}-2 y_{t}=5 \sin \frac{\pi}{2} t$ 的一个特解是 （A） $\displaystyle \bar{y}(t)=2 \sin \frac{\pi}{2} t+\cos \frac{\pi}{2} t$ ． （B） $\displaystyle \bar{y}(t)=2 \sin \frac{\pi}{2} t-\cos \frac{\pi}{2} t$ ． （C） $\displaystyle \bar{y}(t)=-2 \sin \frac{\pi}{2} t-\cos \frac{\pi}{2} t$ ． （D） $\displaystyle \bar{y}(t)=-2 \sin \frac{\pi}{2} t+\cos \frac{\pi}{2} t$ ． 纠钱笔记
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：差分方程$y_{t+1}-y_t=t^2-1$，非齐次项为二次多项式。因齐次方程$y_{t+1}-y_t=0$的特征根为1，故特解形式应设为$\bar{y}(t)=t(At^2+Bt+C)=At^3+Bt^2+Ct$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别非齐次项形式
非齐次项为 $5 \sin\frac{\pi}{2}t$，即 $5\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$，是正弦函数。
提示：注意 $\sin\frac{\pi}{2}t$ 的周期为4，可视为 $\sin(\omega t)$ 形式，其中 $\omega=\frac{\pi}{2}$。
步骤 2/4
目标：判断特征根与特解形式
齐次方程 $y_{t+1}-2y_t=0$ 的特征方程为 $\lambda-2=0$，特征根 $\lambda=2$。非齐次项 $5\sin\frac{\pi}{2}t$ 对应复数 $e^{i\frac{\pi}{2}t}$，其模 $|e^{i\frac{\pi}{2}}|=1$，不是特征根，故特解形式设为 $\bar{y}(t)=A\sin\frac{\pi}{2}t+B\cos\frac{\pi}{2}t$。
公式：特征根 $\lambda=2$，非齐次项 $\sin(\omega t)$ 对应复数 $e^{i\omega t}$，若 $e^{i\omega}\neq\lambda$，则特解形式为 $A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$。
提示：注意差分方程中 $t$ 是整数，$\sin\frac{\pi}{2}t$ 在整数点取值有规律，但特解形式仍按一般方法设。
步骤 3/4
目标：代入特解形式求系数
设 $\bar{y}(t)=A\sin\frac{\pi}{2}t+B\cos\frac{\pi}{2}t$，则 $\bar{y}(t+1)=A\sin\left(\frac{\pi}{2}(t+1)\right)+B\cos\left(\frac{\pi}{2}(t+1)\right)=A\cos\frac{\pi}{2}t-B\sin\frac{\pi}{2}t$。代入方程：$(A\cos\frac{\pi}{2}t-B\sin\frac{\pi}{2}t)-2(A\sin\frac{\pi}{2}t+B\cos\frac{\pi}{2}t)=5\sin\frac{\pi}{2}t$。整理得：$(-B-2A)\sin\frac{\pi}{2}t+(A-2B)\cos\frac{\pi}{2}t=5\sin\frac{\pi}{2}t$。比较系数得方程组：$-B-2A=5$，$A-2B=0$。解得 $A=-2$，$B=-1$。故特解为 $\bar{y}(t)=-2\sin\frac{\pi}{2}t-\cos\frac{\pi}{2}t$。
公式：三角恒等式：$\sin(\frac{\pi}{2}(t+1))=\cos\frac{\pi}{2}t$，$\cos(\frac{\pi}{2}(t+1))=-\sin\frac{\pi}{2}t$。
提示：注意 $\sin$ 和 $\cos$ 的相位变换，代入后合并同类项。
步骤 4/4
目标：对比选项得出答案
计算得到的特解为 $-2\sin\frac{\pi}{2}t-\cos\frac{\pi}{2}t$，对应选项（C）。
提示：检查选项符号，注意（C）为 $-2\sin\frac{\pi}{2}t-\cos\frac{\pi}{2}t$。
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