kaoyan3basic 高等数学 第634题
📝 题目
### 第634题 634 设 $A, B, C$ 为待定常数，则差分方程 $y_{t+1}-y_{t}=t^{2}-1$ 的特解具有形式 （A） $\bar{y}(t)=A t^{2}+B$ ． （B） $\bar{y}(t)=A t^{3}+B t^{2}+C t$ ． （C） $\bar{y}(t)=A t^{3}+B t^{2}$ ． （D） $\bar{y}(t)=A t^{2}+B t+C$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：需求价格弹性$\displaystyle \frac{P}{Q}\frac{dQ}{dP}=-P(\ln P+1)$，即$\displaystyle \frac{dQ}{Q}=-(\ln P+1)dP$。积分得$\ln Q=-\int(\ln P+1)dP=-(P\ln P-P+P)+C=-P\ln P+C$，故$Q=e^{-P\ln P+C}=C_1P^{-P}$。由$P=1$时$Q=1$得$C_1=1$，所以$Q(P)=P^{-P}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定差分方程的类型和特解形式
给定差分方程 y_{t+1} - y_t = t^2 - 1，是一阶非齐次线性差分方程。非齐次项为 t^2 - 1，是二次多项式。由于齐次方程 y_{t+1} - y_t = 0 的通解为常数，特解应设为与 t 的多项式形式，但需考虑齐次解是否与特解形式冲突。
公式：y_{t+1} - y_t = t^2 - 1
提示：注意非齐次项是多项式，特解通常设为同次多项式，但需检查是否与齐次解重合。
步骤 2/3
目标：分析特解可能的形式
设特解为 t 的多项式。由于非齐次项是二次多项式，通常特解设为二次多项式。但代入差分后，二次项会降次。实际上，对于一阶差分方程，若非齐次项是 m 次多项式，特解应设为 m+1 次多项式，因为差分运算降低次数。因此，特解应设为三次多项式。
公式：设特解形式为 A t^3 + B t^2 + C t + D，但常数项在差分后消失，可省略。
提示：差分运算 y_{t+1} - y_t 对多项式降一次，所以特解次数应比非齐次项高一次。
步骤 3/3
目标：验证选项
选项 (A) 是二次多项式，次数不够；选项 (B) 是三次多项式但包含一次项；选项 (C) 是三次多项式且无一次项和常数项；选项 (D) 是二次多项式加一次项和常数项。由于差分后常数项消失，且一次项在差分后变为常数，但非齐次项无常数项，所以特解中不应有一次项和常数项。因此，只有 (C) 符合。
公式：代入验证：设 y(t)=A t^3+B t^2，则 y(t+1)-y(t)=3A t^2+(3A+2B)t+(A+B)，与 t^2-1 比较，可得 3A=1, 3A+2B=0, A+B=-1，解得 A=1/3, B=-1/2，满足。
提示：通过比较系数可确认特解形式正确。
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