kaoyan3basic 高等数学 第633题
📝 题目
### 第633题 633 某商品的需求价格弹性为 $-P(\ln P+1), P$ 为价格，当 $P=1$ 时需求量 $Q(P)=1$ ，则该商品的需求函数 $Q(P)=$ （A）$\displaystyle P^{-\frac{1}{2} P}$ ． （B）$\displaystyle P^{-\frac{1}{3} P}$ ． （C）$P^{-P}$ ． （D）$P^{-2 P}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：由$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-x}-2xe^{-x}$，对应齐次方程特征根$r=2, r=-1$，故齐次方程为$y''-y'-2y=0$。设特解$y^*=-2xe^{-x}$，代入方程：$y^{*\prime}=-2e^{-x}+2xe^{-x}$，$y^{*\prime\prime}=4e^{-x}-2xe^{-x}$，则$y^{*\prime\prime}-y^{*\prime}-2y^*=(4e^{-x}-2xe^{-x})-(-2e^{-x}+2xe^{-x})-2(-2xe^{-x})=6e^{-x}$。故微分方程为$y''-y'-2y=6e^{-x}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立微分方程
需求价格弹性公式为 $E = \frac{P}{Q} \frac{dQ}{dP}$。已知 $E = -P(\ln P + 1)$，代入得 $\frac{P}{Q} \frac{dQ}{dP} = -P(\ln P + 1)$。
公式：$\frac{P}{Q} \frac{dQ}{dP} = -P(\ln P + 1)$
提示：注意弹性定义中负号的处理，这里直接给出弹性值，无需额外加负号。
步骤 2/6
目标：化简微分方程
两边除以 $P$（$P>0$），得 $\frac{1}{Q} \frac{dQ}{dP} = -(\ln P + 1)$。
公式：$\frac{1}{Q} \frac{dQ}{dP} = -(\ln P + 1)$
提示：价格 $P$ 为正数，可放心约去。
步骤 3/6
目标：分离变量并积分
分离变量：$\frac{dQ}{Q} = -(\ln P + 1) dP$。两边积分：$\int \frac{dQ}{Q} = -\int (\ln P + 1) dP$。左边为 $\ln |Q|$，右边计算：$\int \ln P dP = P \ln P - P + C$，$\int 1 dP = P$，所以 $\int (\ln P + 1) dP = P \ln P - P + P + C = P \ln P + C$。因此 $\ln Q = -P \ln P + C$。
公式：$\ln Q = -P \ln P + C$
提示：积分时注意 $\int \ln P dP$ 用分部积分法。
步骤 4/6
目标：求解函数表达式
两边取指数：$Q = e^{-P \ln P + C} = e^C \cdot e^{-P \ln P} = C_1 P^{-P}$，其中 $C_1 = e^C$。
公式：$Q = C_1 P^{-P}$
提示：利用 $e^{-P \ln P} = (e^{\ln P})^{-P} = P^{-P}$。
步骤 5/6
目标：利用初始条件确定常数
代入 $P=1$ 时 $Q=1$：$1 = C_1 \cdot 1^{-1} = C_1$，所以 $C_1=1$。因此需求函数为 $Q(P) = P^{-P}$。
公式：$Q(P) = P^{-P}$
提示：注意 $1^{-1}=1$。
步骤 6/6
目标：选择正确选项
对比选项，$P^{-P}$ 对应选项（C）。
提示：检查选项中的指数形式。
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