kaoyan3basic 高等数学 第631题
📝 题目
### 第631题 631 已知方程 $y^{\prime \prime}+q y=0$ 存在当 $x \rightarrow+\infty$ 时趋于零的非零解，则 （A）$q>0$ ． （B）$q \geqslant 0$ ． （C）$q<0$ ． （D）$q \leqslant 0$ ． 632 设 $C_{1}, C_{2}$ 是两个任意常数，则函数 $y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}-2 x \mathrm{e}^{-x}$ 满足的一个微分方程是
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：方程$y''+qy=0$的特征方程为$r^2+q=0$。当$q>0$时，特征根为$r=\pm i\sqrt{q}$，通解为$y=C_1\cos(\sqrt{q}x)+C_2\sin(\sqrt{q}x)$，当$x\to+\infty$时振荡，不趋于零（除非$C_1=C_2=0$）。当$q=0$时，通解$y=C_1+C_2x$，当$x\to+\infty$时除非$C_1=C_2=0$否则不趋于零。当$q<0$时，特征根为$r=\pm\sqrt{-q}$，通解$y=C_1e^{\sqrt{-q}x}+C_2e^{-\sqrt{-q}x}$，存在非零解（如取$C_1=0$）当$x\to+\infty$时趋于零。因此$q<0$时存在非零解趋于零。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出特征方程
对于二阶常系数齐次线性微分方程 y'' + qy = 0，其特征方程为 r^2 + q = 0。
公式：r^2 + q = 0
提示：特征方程由微分方程直接得到，将y''替换为r^2，y替换为1。
步骤 2/3
目标：根据q的符号讨论特征根
当q>0时，特征根为r = ±i√q，通解为y = C1 cos(√q x) + C2 sin(√q x)，当x→+∞时振荡，不趋于零（除非C1=C2=0）。当q=0时，特征根为重根r=0，通解为y = C1 + C2 x，当x→+∞时除非C1=C2=0否则不趋于零。当q<0时，特征根为r = ±√(-q)，通解为y = C1 e^(√(-q)x) + C2 e^(-√(-q)x)，存在非零解（如取C1=0）当x→+∞时趋于零。
公式：r = ±√(-q) (q<0)
提示：注意区分实根和复根的情况，以及解在无穷远处的行为。
步骤 3/3
目标：判断存在非零解趋于零的条件
只有当q<0时，存在非零解（例如取C1=0，C2≠0）使得当x→+∞时y→0。因此答案为C。
提示：非零解意味着C1和C2不全为零。
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